Тема 8. Игры с денежными ставками

Почему важно уметь решать такие задачи

Лотереи, казино, игровые автоматы, тотализатор – разновидности игр, в которых участники вкладывают свои деньги и надеются получить выигрыш, существенно превышающий вложенную сумму. В честно организованных играх (там, где нет мошенничества) отдельные игроки время от времени такие выигрыши получают. Например, известно, что в популярных лотереях, проводимых «Гослото»: «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49» на выигрыши направляется 50% собранных денег. На официальном сайте лотереи можно увидеть фотографии счастливых участников, которые выиграли от нескольких сотен тысяч и до десятков и даже сотен миллионов рублей.

Означает ли это, что лотерея, тотализатор - прекрасный способ заработать деньги? Нет, это не так: чем больше участник вкладывает деньги, тем увереннее он их проиграет.

Но как же так? Отдельному человеку может улыбнуться удача, и выигрыш многократно превысит его расходы. И вдруг: чем больше участник играет, тем увереннее он проигрывает. Никакого противоречия нет. Если вы не экстрасенс и не волшебник, который точно заранее знает выигрышную комбинацию, то ваши выигрыши и проигрыши подчиняются математическим закономерностям. Зная эти закономерности, вы можете оценить результаты своей игры. Лотерея, казино, тотализатор всегда устроены так, что совокупно все участники проигрывают организаторам, поэтому «игры на деньги» могут быть развлечением, хобби, но ни в коем случае не должны становиться инструментом инвестирования или решения финансовых проблем. Попытка выпутаться из финансовых трудностей, вкладывая последние деньги в игры, вероятнее всего, приведет к еще большим финансовым трудностям.

Игры на деньги всегда были окутаны элементами таинственного, отсюда возникает большое количество заблуждений. Например, большинство «систем», позволяющих существенно повысить вероятность выигрыша игрока, разного рода «счастливые числа» и сочетания на поверку оказываются несостоятельными. И для проверки того, что правда, а что нет, снова на помощь приходит математика!

Теория вероятностей достаточно точно определяет параметры и результаты игры для большого количества участников, она может предсказать шансы и для одного участника. А вот если предсказанные результаты существенно отличаются от фактических, можно заподозрить, что игра идет «не по правилам», такой пример, правда литературный (по роману Д. Лондона «Смок Белью»), вы найдете ниже.

Решите задачи

 

Задача 8.1.1. * В лотерее «6 из 45» участник выбирает шесть разных чисел (или номеров) от 1 до 45 (последовательность чисел значения не имеет). Во время тиража определяется случайная выигрышная комбинация из шести номеров.

Джекпот – максимальный выигрыш, который участник получает, если угадывает все шесть выигрышных номеров. Распространено мнение, что у счастливчика, выигравшего джекпот однажды, значительно меньше шансов выиграть его еще раз, чем у того, кто прежде джекпот не выигрывал. Верно ли это?

Задача 8.1.2.   По результатам анализа 20 последовательных тиражей в лотерее «6 из 45» выяснилось, что в выигрышных комбинациях число 31 встречалось в 3 раза чаще, чем число 34. Делая ставку в очередном тираже, игрок решил вместо числа 34 поставить число 31. Насколько у игрока увеличилась вероятность получить выигрыш в данном тираже?

Задача 8.1.3.  * В лотерее «5 из 36» участник выбирает пять разных чисел (номеров) от 1 до 36. Во время тиража определяется случайная выигрышная комбинация из пяти чисел (номеров). Лотерея «6 из 29» устроена аналогично: разыгрываются шесть случайных номеров из двадцати девяти. Джекпот – максимальный выигрыш, который участник получает, если угадывает все выигрышные номера. Минимальный выигрыш участник получает, если угадал ровно два выигрышных номера.

а) Игрок хочет выбрать лотерею, в которой вероятность получить джекпот выше. Какая из двух лотерей ему подойдет?

б) В какой из этих лотерей выше вероятность получить минимальный выигрыш?

Задача 8.1.4. ** Тиражи лотереи «6 из 45» проводятся ежедневно два раза в день. Предположим, что в каждом тираже делается 100 000 ставок (игроков может быть меньше, поскольку каждый может сделать больше одной ставки). Джекпот – максимальный выигрыш, который получает участник, если угадывает все шесть выигрышных номеров. Какова вероятность, что джекпот будет выигран хотя бы одним игроком хотя бы раз в течение апреля?

Задача 8.1.5. * В лотерее «6 из 45» участник выбирает шесть разных чисел (или номеров) от 1 до 45 (последовательность чисел значения не имеет). Во время тиража определяется случайная выигрышная комбинация из шести номеров.

После сбора ставок организатор лотереи случайным образом определяет выигрышную комбинацию 6 чисел.

Джекпот – максимальный выигрыш, который получает участник в случае, если угадал все 6 чисел из выигрышной комбинации.

Один игрок делает две ставки с разными комбинациями чисел в одном тираже, а второй игрок делает две ставки с разными комбинациями чисел в двух тиражах. У какого игрока вероятность выиграть джекпот больше?

Задача 8.1.6. * В лотерее «6 из 45» участник выбирает шесть разных чисел (или номеров) от 1 до 45 (последовательность чисел значения не имеет). Во время тиража определяется случайная выигрышная комбинация из шести номеров.

Джекпот –– максимальный выигрыш, который получает участник в случае, если угадал все 6 чисел из выигрышной комбинации.

Игрок хочет во что бы то ни стало выиграть джекпот, сделав в одном тираже разные ставки на общую сумму 1 000 000 рублей. Стоимость одной ставки – 100 рублей. Какова вероятность, что он выиграет джекпот?

Задача 8.1.7. *     В интернете опубликован способ выбора чисел, который, по утверждению автора, существенно повышает вероятность выигрыша в лотерее «6 из 45». Автор считает, что «среди выигрышных комбинаций закономерно чаще встречаются комбинации с 3 четными числами и 3 нечетными числами, чем комбинации с другим соотношением четных и нечетных чисел. Следовательно, игрок, который выбирает 3 четных и 3 нечетных номера, имеет больше шансов на выигрыш, чем игрок, который делает совершенно случайную ставку».

а) Верно ли, что комбинации с 3 четными и 3 нечетными числами встречаются чаще, чем комбинации с любым другим соотношением четных и нечетных чисел?
б) Верно ли, что игрок, выбирающий 3 четных и 3 нечетных числа, имеет больше шансов выиграть по сравнению с игроком, поступающим иначе?

Задача 8.1.8. * В лотерее «6 из 45» участник выбирает шесть разных чисел (или номеров) от 1 до 45 (последовательность чисел значения не имеет). Во время тиража определяется случайная выигрышная комбинация из шести номеров.

Минимальный выигрыш – событие, при котором участник, угадал 2 числа из выигрышной комбинации.

Приятели Иванов и Петров, играя в лотерею «6 из 45», купили по 20 билетов одного тиража. Иванов во всех билетах отметил номера 1, 2, 3, 4, 5, 6. Петров выбрал 20 шестерок номеров так, чтобы ни в каких двух шестерках не было двух совпадающих номеров. У кого из приятелей математическое ожидание числа минимальных выигрышей больше?  

Задача 8.1.9. * В рулетке игрок делает ставку на один из 38 номеров (номера – это числа от 1 до 36, 0 (или зеро)) и 00 (или «двойной ноль)»)), затем крупье (ведущий игры, представитель казино) закручивает барабан и запускает шарик. Номер, на котором останавливается шарик, становится выигрышным. Если игрок поставил на выигрышный номер, то он получает сумму в 35 раз больше сделанной им ставки. Казино (часто в лице крупье) выдает ему выигрыш. Если игрок не угадал номер, его ставку получает крупье (казино). Прочитайте отрывок из рассказа Джека Лондона «Смок Беллью» и ответьте на вопросы.

«— Чует мое сердце, что мне сегодня повезет. Поставь лучше этот доллар на рулетку.

Они подошли к стоявшему возле буфета столу с рулеткой.

— Подожди, пока я не скажу, — посоветовал Малыш.

— На какой номер? — спросил Смок.

— На какой хочешь. Но не ставь, пока я не скажу.

— Надеюсь, ты не будешь меня убеждать, что за этим столом у нас больше шансов, — сказал Смок.

— У нас столько же шансов, сколько у нашего соседа.

— Но меньше, чем у крупье».

Прав ли Малыш, что шансы (вероятность выиграть) у всех игроков за столом одинакова?

Верно ли, что математическое ожидание выигрыша у казино выше, чем у любого игрока?

Задача 8.1.10.* В рулетке игрок делает ставку на один из 38 номеров (номера – это числа от 1 до 36, 0 (или зеро) и 00 (или «двойной ноль»)), затем крупье (ведущий игры, представитель казино) закручивает барабан и запускает шарик. Номер, на котором останавливается шарик, становится выигрышным. Если игрок поставил на выигрышный номер, то он получает сумму в 35 раз больше сделанной им ставки. Казино (часто в лице крупье) выдает ему выигрыш. Если игрок не угадал номер, его ставку получает крупье (казино). Прочитайте отрывок из рассказа Джека Лондона «Смок Беллью» и ответьте на вопросы.

Смок: «Я внимательно следил за выигрышами. Случайно я дважды отметил, где остановился шарик, когда вначале против него был номер девять. Оба раза выиграл двадцать шестой. Тогда я стал изучать и другие случаи. Если напротив находится двойной ноль —— выигрывает тридцать второй. А для того чтобы выиграть на двойной ноль, необходимо, чтобы напротив было одиннадцать. Это случается не всегда, но обычно».

Стол, за которым Смок играл в рулетку, стоял близко к огню, поэтому барабан покоробился.

Допустим, что Смок в половине случаев верно предсказывал выигрышный номер до запуска барабана. Каково математическое ожидание выигрыша у Смока?

Задача 8.1.11. * Кот Базилио устроил лотерею. Лотерейный билет стоит 1 сольдо, и на каждом билете напечатаны буквы слова БУРАТИНО в случайном порядке, каждая два раза – всего шестнадцать букв. Каждая буква скрыта под непрозрачной краской. Участник лотереи должен стереть краску ровно с восьми букв. Если из восьми открытых букв можно сложить слово БУРАТИНО, то участник выигрывает билет на премьеру в театр Карабаса. Если же каких-то букв не хватает, то участник не получает ничего. Порядок букв в каждом лотерейном билете случаен и не зависит от других билетов. Билеты выигравшим участникам Базилио оплачивает из собранных средств: он платит Карабасу по 10 сольдо за билет. Всего было выпущено 10000 лотерейных билетов, и все они были раскуплены. Найдите математическое ожидание прибыли Базилио от распространения лотерейных билетов. Ответ округлите до целого числа сольдо.

Задача 8.1.12. ** В кинотеатре установлен игровой автомат «Кран» с мягкими игрушками. Игрок платит 50 рублей и получает одну попытку захватить мягкую игрушку с помощью манипулятора. Если попытка удачная, то игрок забирает игрушку. Васе очень понравился розовый слон. Вероятность захватить слона 0,02. Сколько Вася должен попросить денег у мамы, чтобы вытащить слона с вероятностью не менее 0,95 (стоимость такого же розового слона в соседнем магазине составляет 800 рублей)?

 

Ответы к задачам

Тема 1. Потребности и расходы

Изменение цен и количества товаров и услуг

Номер задачи	Ответ
1.1.1.	3000 рублей
1.1.2.	260 рублей
1.1.3.	«А»
1.1.4.	«Б»
1.1.5.	«Б»
1.1.6.	«А»
1.1.7.	График
1.1.8.	от 101 до 110, от 201 до 220, от 301 до 330 или от 401 до 440.
1.1.9.	17,5%.
1.1.10.	517 рублей 50 копеек
1.1.11.	снизился примерно на 3%
1.1.12.	125 граммов
1.1.13.	15 сырков
1.1.14.	14 сырков
1.1.15.	15 штук.
1.1.16.	15 штук.
1.1.17.	50 раз
1.1.18.	769 рублей
1.1.19.	домашние
1.1.20.	260 рублей
1.1.21.	194 рублей
1.1.22.	360 рублей
1.1.23.	6 840 рублей
1.1.24.	8 600 рублей.
1.1.25.	89 100 рублей
1.1.26.	21 600 рублей
1.1.27.	364 рублей
1.1.28.	636 рублей
1.1.29.	14 рублей

 

 

Номер задачи	Ответ
1.1.30.	30%
1.1.31.	на 15,2%
1.1.32.	1016 руб. 06 коп.
1.1.33.	180
1.1.34	3 682 000 рублей
1.1.35.	492 руб; 5лет
1.1.36.	вторая хозяйка
1.1.37.	1) да, при глубине 17 метров и более. 2) 11 метров.

 

Взаимозаменяемые варианты

Номер задачи	Ответ
1.2.1.	21 поездка
1.2.2.	21 поездка
1.2.3.	на 240 рублей
1.2.4.	наилучший вариант маршрут Пермь-Анапа
1.2.5.	86 100 рублей
1.2.6.	87 000 рублей
1.2.7.	700 рублей
1.2.8.	«Б»
1.2.9.	36 месяцев
1.2.10.	15; 51
1.2.11.	135;153;315;351;513;531
1.2.12.	7,3 кг.; 493 руб.
1.2.13.	18,75 %
1.2.14.	Не прав
1.2.15.	«а»
1.2.16.	«Б»
1.2.17.	59,52 рублей
1.2.18.	за 3 года
1.2.19.	63 504 рубля
1.2.20.	12 руб.
1.2.21.	«А»
1.2.22.	Выгоднее всего покупать невозвратный билет 30 августа

 

Альтернативная стоимость

Номер задачи	Ответ
1.3.1.	Заказать костюм в ателье дешевле
1.3.2.	12
1.3.3.	На 11 055 рублей
1.3.4.	В Костромской области- дровами, а в Ростовской- углем.
1.3.5.	5 лет
1.3.6.	На 1 586 рублей
1.3.7.	Вариант 1
1.3.8.	10 000 рублей
1.3.9.	Светодиодные лампы наиболее выгодны всем
1.3.10.	1)76, 96 2)31, 69 3)8, 15

 

Потребительский выбор. Комплементарные (взаимодополняющие) блага

Номер задачи	Ответ
1.4.1.	Выгоднее купить лазерный принтер
1.4.2.	1) Марки «Б»; 2) Да, станет выгоднее купить принтер марки «А».
1.4.3.	А1
1.4.4.	Марки А
1.4.5.	1) марку «Б»; 2) автомобиль марки «А» обойдётся Алексею на 164250 руб. дороже.

 

Скидки, уценки, программы лояльности

Номер задачи	Ответ
1.5.1.	66
1.5.2.	135 рублей
1.5.3.	2,941%
1.5.4.	В магазине «Б» Разница составит 165 рублей
1.5.5.	В магазине «А»
1.5.6.	500 рублей
1.5.7.	7 штук
1.5.8.	500 рублей
1.5.9.	50%
1.5.10.	11%
1.5.11.	да; нет; да
1.5.12.	[1000;1250);[2000;2500);[3000;3750);[4000;+∞)
1.5.13.	10 %
1.5.14.	Через 9 месяцев
1.5.15.	Уменьшилась на 600 руб.
1.5.16.	2015
1.5.17.	186 000 руб.

 

Тема 2. Доходы и налоги

Доходы

Номер задачи	Ответ
2.1.1.	«Н»
2.1.2.	Исходя из годового объема продаж: 80 417 рублей – 110 000 рублей в месяц, исходя из месячного объема продаж: 55 000 рублей- 225 000 рублей в месяц.
2.1.3.	от 33 750 до 54 000 рублей
2.1.4.	Кутько
2.1.5.	1 080 рублей
2.1.6.	цена 530 рублей, среднее число поездок с пассажирами 10.
2.1.7.	500 рублей и 1 530 штук в месяц
2.1.8.	Артему – 5400 рублей, Сергею – 3000 рублей.
2.1.9.	24 месяца.
2.1.10.	Леша – 1600 рублей, Миша – 2400 рублей, Дима – 3200 рублей.
2.1.11.	167 772 рубля
2.1.12.	2
2.1.13.	51 человек
2.1.14.	10%

Налоги (подоходный налог, налог на землю, транспортный налог), регресс, налоговые льготы

Номер задачи	Ответ
2.2.1.	46 893 рубля
2.2.2.	68 965,52 руб.
2.2.3.	Нет.
2.2.4.	Борис; 24 137,93 рубля
2.2.5.	А
2.2.6.	65
2.2.7.	7 200 рублей
2.2.8.	1) 304 500 рублей. 2) 150 500 рублей
2.2.9.	1) 52 200 рублей. 2) 42 0000 рублей. 3) 414 000 рублей.
2.2.10.	10,3%
2.2.11.	2 850 евро
2.2.12.	3 000 евро в месяц
2.2.13.	В ноябре
2.2.14.	255 866 рублей
2.2.15.	13 000 рублей
2.2.16.	208 000 рублей
2.2.17.	прошлый год – 140 400 рублей; текущий год – 119 600 рублей
2.2.18.	вернуть - 218 400 рублей; перейдет 104 000 рублей
2.2.19.	1000 рублей
2.2.20.	1) 1187 рублей; 2) 3402 рублей
2.2.21.	166,65 рублей
2.2.22.	1312,5 рублей

 

Тема 3. Личный и семейный бюджет и его балансировка

Номер задачи	Ответ
3.1.1.	6 100 рублей
3.1.2.	май
3.1.3.	Антон не сможет сделать ремонт в квартире
3.1.4.	90 рублей
3.1.5.	3 раза
3.1.6.	1) 123 000 рублей; 2) 150 000 рублей; 3) 100 000 рублей

 

Тема 4. Сбережения и инвестиции

Депозиты

Номер задачи	Ответ
4.1.1.	132 500 рублей
4.1.2.	Б
4.1.3.	Б
4.1.4.	60 629,66 рублей
4.1.5.	В банке Б
4.1.6.	Да
4.1.7.	990 рублей
4.1.8.	10%
4.1.9.	Иванов; 11,9955%
4.1.10.	Б
4.1.11.	Кирилл Петрович
4.1.12.	667,29 рублей
4.1.13.	377,23 рублей
4.1.14.	уменьшился на 100 долл.
4.1.15.	121 551 рубль

Инвестиционный доход

Номер задачи	Ответ
4.2.1.	выросла на 2 992,5 рубля
4.2.2.	выросла на 51 000 рублей
4.2.3.	А) сумма сбережений в рублях выросла на 28,3%; Б) сумма сбережений в долларах выросла на 4,2%
4.2.4.	Мария, на 30 000 рублей
4.2.5.	Мария, на 1 840 000 рублей
4.2.6.	Банк А – 0 руб., банк Б - 1 272 000 руб., банк В – 1 296 000 руб., банк Г – 432 000 руб.
4.2.7.	При текущих расходах и доходах не сможет; надо снизить расходы на 8 182 рубля
4.2.8.	611 727 рублей
4.2.9.	1) 1 550 000 рублей; 2) 2 050 000 рублей
4.2.10.	Меньше на 23 270 рубля.
4.2.11.	1) 58 200; 2) - 29 000 рублей.

Тема 5. Кредиты и займы

Номер задачи	Ответ
5.1.1.	банку «А» – 51 266,44 руб.; банку «Б» - 59 167 руб.
5.1.2.	Сумма выплаченных процентов в банк «А» составит 240 772 рубля, в банк «Б» - 113 772 рубля
5.1.3.	72 000 рублей
5.1.4.	А; 57 000 рублей
5.1.5.	всего 36 000 рублей; проценты: 18 000 рублей, штраф: 3000 рублей
5.1.6.	1 510 602,76 руб.
5.1.7.	5 лет
5.1.8.	1,93%

Тема 6. Расчеты

Валютные расчеты

Номер задачи	Ответ
6.1.1.	в евро
6.1.2.	Наименьшими расходы на конвертацию будут при третьем варианте
6.1.3.	193 иены

Расчеты с использованием банковских карт

Номер задачи	Ответ
6.2.1.	Проценты составляют 909 руб., премии не хватит (всего нужно заплатить 40 409 руб.).
6.2.2.	12 230 рублей
6.2.3.	На заправке компании «P»
6.2.4.	Вариант 1
6.2.5.	В супермаркете
6.2.6.	Нет (Катя ошиблась)
6.2.7.	540 рублей
6.2.8.	12,5 месяцев
6.2.9.	- 1440 рублей
6.2.10.	Дешевле было сначала погасить задолженность по карте (вариант Б), разница – 367,21 рублей
6.2.11.	310 рублей
6.2.12.	5 790 рублей

Тема 7. Страхование

Страхование жизни и здоровья

Номер задачи	Ответ
7.1.1.	1) Ребенку. 2) 2 200 рублей
7.1.2.	Может
7.1.3.	36 полисов
7.1.4.	154,17 рубля

Страхование ответственности и имущества

Номер задачи	Ответ
7.2.1.	8 640 рублей
7.2.2.	11 762,3 рубля; нет.
7.2.3.	возраст меньше 22 лет, стаж больше 3 лет
7.2.4.	27 000 рублей
7.2.5.	76 923,08 и 123 076,92 рублей
7.2.6.	11350 рублей

Тема 8.      Игры с денежными ставками

Номер задачи	Ответ
8.1.1.	это неверно, поскольку выигрыши в различных тиражах – события независимые
8.1.2.	Не увеличилась
8.1.3.	а) «5 из 36»; б) «6 из 29»
8.1.4.	прибл.
8.1.5.	вероятность выиграть джекпот больше, когда ставки в одном тираже
8.1.6.	0,00123
8.1.7.	а) Да. б) Нет
8.1.8.	Математическое ожидание суммы минимальных выигрышей одинаковое у Петрова и у Иванова
8.1.9.	да, прав; верно
8.1.10.	Смок в среднем за раунд будет выигрывать сумму, в 18 раз превосходящую ставку
8.1.11.	прибл. 8010 золотых
8.1.12.	7450 рублей