Иррациональные уравнения и неравенства

Введение

    Иррациональными уравнениями и неравенствами называются такие уравнения и неравенства, в которых присутствует знак радикала (  ).Основной проблемой при решении такого рода задач является поиск кратчайшего пути, приводящего к более простой эквивалентной задаче, не содержащей радикалов.

 

Определение 1

    Задача Е1 называется эквивалентной (равносильной) задаче Е2, если множества их решений совпадают. В записи это обозначается так:   

Е1

                      

                       Е2

    В дальнейшем изложении мы будем рассматривать уравнения и неравенства, содержащие знак квадратного корня.

Корни более высоких степеней встречаются на экзаменах крайне редко и только в специально подобранных задачах.

 

    Напомним определение квадратного корня:

 

    Определение 2

    (1)  ³ 0 (квадратный корень обозначает неотрицательное число)

    (2) () = a   (и такое, что его квадрат равен подкоренному выражению)

     

    Замечание 1

    Наличие буквы a в правой части второго равенства показывает, что подкоренное выражение не может быть отрицательным.

    Поскольку это знают все старшеклассники, то указывать на это в тех местах, где есть знак радикала, не следует. Вообще, обращать внимание на область определения той или иной функции, входящей в исходную задачу, в процессе преобразований задачи нужно не раньше, чем тогда, когда исчез знак этой функции. Например, наличие знаменателя предполагает, что он не нуль, и указывать на это следует в том месте, где мы от него избавились (в исходной-то задаче он был!).

 

 

 

 Часть 1. Иррациональные уравнения.

   

    §1 Основное уравнение

             

    Это уравнение вида:

                  

(1)        

                  

    Утверждение 1

    Имеет место эквивалентность:

        

(A)

                                                                                           (ИУ 1)

                 

        

    Доказательство:

    Пусть число x  является решением уравнения (A). Тогда, во-первых, из равенства чисел следует равенство их квадратов, т.е. для x  выполняется (B), во-вторых, поскольку правая часть (A) равна левой части,

а левая часть неотрицательна по определению, то имеет место неравенство (C).

    Таким образом, каждое решение исходного уравнения является также и решением системы.

    Обратно, пусть x  удовлетворяет системе. Перепишем её в эквивалентной форме:

   

    Если x  таково, что , то всё доказано.

    Пусть  и g(x )  0, тогда очевидно, что ,

и равенство (A) опять имеет место.

        

    Замечание 2

    Предостерегаем читателя от распространённого заблуждения: “нуль, умноженный на что угодно, даёт нуль”. (Операция “нуль умножить на Ивана Семёновича”, точно так же, как , не определены!).

    Поэтому в общем случае имеет место эквивалентный переход:

             

                      

Здесь D и D  -- области определения соответствующих функций,  а квадратная скобка обозначает совокупность, решением которой является объединение решений её составляющих

                          

Замечание 3

    Поскольку правая часть уравнения (B) представляет полный квадрат, то все его решения x  удовлетворяют условию , и соответствующая проверка – пустая трата времени.

        

    Замечание 4

    Переход к следствию

   

             

    ,

с последующей проверкой равенства (A), часто не оправдан из-за затруднений, возникающих при этой проверке.

        

 

 

    § 2 Примеры записи решений основной задачи

       

    Пример 1. Р ешить уравнение: 

    Решение:

   

             

   

             

                                  

             

             

                                                      

Ответ:  .

   

Пример 2 Решить уравнение:

             

Решение:

   

             

   

             

          

       

   

                            

Ответ: , .            

     Пример 3         Решить уравнение:      

   

    Решение:

     

     

                                     

      

       

Ответ: .

                                                   

Пример 4        Решить уравнение:   

Решение:

             

    

             

                                     

         Ответ: решений нет.

 

Пример 5      Решить уравнение:      

Решение:

                  

                        Из теоремы Виета видно, что корни разных знаков.

                                         

                           

   

 Ответ: .

Задачи с двумя радикалами

Наиболее распространёнными задачами этого типа являются следующие три:  

 

(I)

 

(II)  

        

(III) ,      где - положительная константа.

        

        

    Утверждение 2

    Имеют место эквивалентности:

   

                                                                                          

       (или , смотря, что проще)                 (ИУ 2)

   

   

             

                                               (ИУ 3.1)

             

   

   

   

    Замечание 5

    Тождественный переход , выполняемый слева направо, может расширить область определения задачи, из-за чего могут возникнуть посторонние корни. После такой замены следует восстановить ограничения , , имевшие место в исходной задаче.

    Однако в некоторых случаях этого делать не надо. Например, левая и правая части тождества , имеют одинаковые области определения.

 Здесь слева , а справа , что то же самое.

    Возможен другой путь:

        

   

             

   

                                                                                           (ИУ 3.2)

    ,

   

и задача сводится к основному типу.

        

             

                                                                                           (ИУ 4)

Доказательства мы предоставляем читателю в качестве самостоятельной работы.

 

 

    § 4 Примеры записи решений задач с двумя радикалами

   

    Пример 6. Решить уравнение:

Решение:

   

             

   

                            Ответ: .

   

Пример 7. Решить уравнение:

   

Решение:

   

              =

           Ответ: .

   

Пример 8. Решить уравнение:

 Решение

   

                                     

                        

             

 

Ответ: ;

Пример 9. Решить уравнение:

   

 Решение:

   

   

   

Ответ: ;

   

   

Пример 10.             Решить уравнение:

   

Решение:

   

   

    Ответ:

   

(этот пример показывает, что в стандартной задаче решение может быть более простым, если учесть специфику данной конкретной задачи).