А.П.Савин. Энциклопедический словарь юного математика – Москва: Издательство “Педагогика”, 1989.

 

Transcript

· 1. Иррациональные уравнениялекция 1.
Автор: Чипышева Людмила Викторовна,
учитель математики МОУ Гимназии №80 г. Челябинска

· 2. Теоретический материал
Определение: иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала).
Областью допустимых значений переменных (ОДЗ) уравнения называется множество значений неизвестного, при которых имеет смысл (то есть определены) его левая и правая части.
Число х из ОДЗ уравнения называется его решением, если при подстановке его вместо неизвестного уравнение превращается в верное числовое равенство.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

· 3. Теоретический материал
Если все корни одного уравнения являются корнями другого уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.
Два уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни.
Если оба уравнения не имеют решений на данном числовом множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве.
Арифметическим корнем k-й степени из числа а≥0 называется неотрицательное число b (b≥0), k-я степень которого равна а, k>1, kN.

· 4. Теоретический материал
Если k – число нечётное, то справедливо равенство:
Для любого х справедливо:
При решении иррациональных уравнений используются два основных метода:
Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
Введение новых (вспомогательных) переменных.
Однако иногда приходится применять и искусственные приёмы при решении иррациональных уравнений.

· 5. Теоретический материал
При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду следующее:
1) Если k – число нечётное, то уравнения f(x)=g(x) и
равносильны;
2) Если k – число чётное, то уравнение
является следствием уравнения f(x)=g(x), т. е. при переходе от уравнения f(x)=g(x) к уравнению
могут (помните об этом) появиться посторонние корни.
Вот почему при решении иррациональных уравнений необходима проверка найденных решений(корней), даже тех, которые вошли в ОДЗ, при условии, если было выполнено возведение в чётную степень обеих частей уравнения.

· 6. Простейшие иррациональные уравнения:
1)Решить устно:

· 7. Методы решения иррациональных уравнений
Возведение в степень, равную показателю корня.
Пример 1.

· 8. Методы решения иррациональных уравнений
Возведение в степень, равную показателю корня.
Пример 1.

· 9. Методы решения иррациональных уравнений
Возведение в степень, равную показателю корня.
Пример 2.
Обратите внимание, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, тем не менее, один корень посторонний!!!!

· 10. Методы решения иррациональных уравнений
Возведение в степень, равную показателю корня.
Пример 3.

· 11. Методы решения иррациональных уравнений
Возведение в степень, равную показателю корня.
Пример 4.

· 12. Методы решения иррациональных уравнений
Возведение в степень, равную показателю корня.
Пример 5.

· 13. Методы решения иррациональных уравнений
Возведение в степень, равную показателю корня.
Пример 5.

· 14. Методы решения иррациональных уравнений
Возведение в степень, равную показателю корня.
Пример 6.

· 15. Методы решения иррациональных уравнений
Введение новых (вспомогательных) переменных.
Пример 7.

· 16. Методы решения иррациональных уравнений
Введение новых (вспомогательных) переменных.
Пример 8.
Решить уравнение:
Решение:
Пусть
значит
Сделаем обратную замену:
возведем обе части уравнения в четвертую степень
Проверка:
x = 2.
x = 2,
Ответ: 2.
6 = 6

· 17. Источники:
А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений».
В. С. Крамор, К. Н. Лунгу, А. К. Лунгу. «Математика: Типовые примеры на вступительных экзаменах. Пособие для старшеклассников и абитуриентов».

 

 

Иррациональные уравнения

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным.

Иногда математическая модель реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение, мы с этим уже встречались (см. замечание к примеру 3 из § 22). Поэтому нам следует научиться решать хотя бы простейшие иррациональные уравнения.

Рассмотрим иррациональное уравнение

Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что 2х + 1 = З2. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению 2х + 1 = 9, возведя в квадрат обе части иррационального уравнения. Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения — основной метод решения иррациональных уравнений. Впрочем, это понятно: как же иначе освободиться от знака квадратного корня? Из уравнения 2х + 1 = 9 находим х = 4.

Это — и корень уравнения 2х + 1 = 9, и заданного иррационального уравнения.

Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда приводит к неприятностям. Рассмотрим, например, иррациональное уравнение

Возведя обе его части в квадрат, получим

Далее имеем:

2x-4x = -7 +5; -2x = -2; х = 1.

Но значение х - 1, будучи корнем рационального уравнения 2x - 5 = 4x - 7, не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив 1 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим . Как же можно говорить о выполнении числового равенства, если и в левой и в правой его части содержатся выражения, не имеющие смысла? В подобных случаях говорят: х = 1 — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение не имеет корней.
Решим иррациональное уравнение

-
Корни этого уравнения можно найти устно, как мы это делали в конце предыдущего параграфа: их произведение равно - 38, а сумма равна - 17; нетрудно догадаться, что это — числа 2 и - 19. Итак, х₁ = 2, х₂ = - 19.

Подставив значение 2 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим

Это неверно.

Подставив значение - 19 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим

Это также неверно.

Каков же вывод? Оба найденные значения — посторонние корни. Иными словами, заданное иррациональное уравнение, как и предыдущее, не имеет корней.

Посторонний корень — не новое для вас понятие, посторонние корни уже встречались при решении рациональных уравнений, обнаружить их помогает проверка. Для иррациональных уравнений проверка — обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»). Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни. Используя этот вывод, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат:

Далее последовательно имеем 5х - 16 = х² - 4х + 4;
х² - 4х + 4 - 5х + 16 = 0;
х² - 9х + 20 = 0;
х₁ = 5, х₂ = 4.
Проверка. Подставив х = 5 в уравнение (1), получим — верное равенство. Подставив х = 4 в уравнение (1), получим — верное равенство. Значит, оба найденные значения — корни уравнения (1).

Пример 2.

Решить уравнение

(это уравнение встретилось нам в § 22 и его решение мы «отложили до лучших времен»)иррационального уравнения, получим

2x2 + 8* + 16 = (44 - 2х)².

Далее имеем

2х² + 8х + 16 = 1936 - 176x + 4x²;
- 2х² + 184x - 1920 = 0;
х² - 92x + 960 = 0;
х₁ = 80, х² = 12.
Проверка. Подставив х = 80 в заданное иррациональное уравнение, получим

это, очевидно, неверное равенство, поскольку в его правой части содержится отрицательное число, а в левой — положительное число. Значит, х = 80 — посторонний корень для данного уравнения. Подставив х = 12 в заданное иррациональное уравнение, получим

т. е.. = 20, — верное равенство. Следовательно, х = 12 — корень данного уравнения.

Ответ: 12.

Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2:

Далее находим:
9 (x + 2) = 4 - 4х + х²;
9х + 18 - 4 + 4х - x² = 0;
- x² + 13x + 14 = 0;
x² - 13x - 14 = 0;
x₁ = 14, x₂ = -1.

Проверка. Подставив значение x = 14 в уравнение (2), получим — неверное равенство, значит, x = 14 — посторонний корень.

Подставив значение x = -1 в уравнение (2), получим — верное равенство. Поэтому x = - 1 — корень уравнения (2).

О т в е т: - 1.

Пример 4.

Решить уравнение

Решение. Конечно, можно решить это уравнение по той же схеме, которую мы применяли в предыдущих примерах: переписать уравнение в виде возвести обе части этого уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение и проверить найденные корни подстановкой их в
исходное иррациональное уравнение. Но мы применим более изящный способ: введем новую переменную у = . Тогда получим 2у₂ + у - 3 = 0 — квадратное уравнение относительно переменной у. Найдем его корни: у₁ = 1, у₂ = - . Таким образом, задача свелась к решению двух
Из первого уравнения находим х = 1, второе уравнение не имеет корней (вы же помните, что принимает только неотрицательные значения).

Ответ: 1.

Завершим этот параграф достаточно серьезным теоретическим разговором. Дело в следующем. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что при решении уравнений выполняют различные преобразования, например: член уравнения переносят из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; обе части уравнения умножают или делят на одно и то же отличное от нуля число; освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение = 0 уравнением р (х) = 0; обе части уравнения возводят в квадрат.

Конечно, вы обратили внимание на то, что в результате некоторых преобразований могли появиться посторонние корни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить все это с теоретической точки зрения.

Определение. Два уравнения f (x) = g (x) и r(x) = s (х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).

Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения.

Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:

1. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.

Например, замена уравнения 2х + 5 = 7х - 8 уравнением 2х - 7х = - 8 - 5 есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения 2х + 5 = 7х -8 и 2х - 7х = -8 - 5 равносильны.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Например, замена уравнения 0,5x² - 0,3x = 2 уравнением 5х² - Зх = 20

(обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносильное преобразование уравнения. Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования: 1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
Например, замена уравнения уравнением х² = 4 есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение х² = 4 имеет два корня: 2 и - 2, а заданному уравнению значение х = 2 удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях мы говорили так: х = 2 — посторонний корень. 2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Примеры приводить не будем, так как их было достаточно много в этом параграфе.

Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найденные корни надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние корни.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

 

_{онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать}

 

Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения

Иррациональные уравнения.

Иррациональными называются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком корня. Таковы, например, уравнения

Во многих случаях, применяя однократно или многократно возведение в степень обеих частей уравнения, удается свести иррациональное уравнение к алгебраическому уравнению той или иной степени (являющемуся следствием исходного уравнения). Так как при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние решения, то, решив алгебраическое уравнение, к которому мы привели данное иррациональное уравнение, следует найденные корни проверить подстановкой в исходное уравнение и сохранить лишь те, которые ему удовлетворяют, а остальные — посторонние — отбросить.

При решении иррациональных уравнений мы ограничиваемся только их действительными корнями; все корни четной степени в записи уравнений понимаются в арифметическом смысле.

Рассмотрим некоторые типичные примеры иррациональных уравнений.

А. У равнения, содержащие неизвестную под знаком квадратного корня. Если данное уравнение содержит только один квадратный корень, под знаком которого имеется неизвестная то следует этот корень уединить, т. е. поместить в одной части уравнения, а все другие члены перенести в другую часть. После возведения в квадрат обеих частей уравнения мы уже освободимся от иррациональности и получим алгебраическое уравнение для

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Уединяем корень в левой части уравнения;

Возводим полученное равенство в квадрат:

Находим корни этого уравнения:

Проверка показывает, что лишь удовлетворяет исходному уравнению.

Если в уравнение входит два и более корня, содержащих х, то возведение в квадрат приходится повторять несколько раз.

Пример 2. Решить следующие уравнения:

Решение, а) Возводим обе части уравнения в квадрат:

Уединяем корень:

Полученное уравнение снова возводим в квадрат:

После преобразований получаем для следующее квадратное уравнение:

решаем его:

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся в том, что есть его корень, а является для него посторонним корнем.

б) Пример можно решить тем же методом, каким был решен пример а). Однако, воспользовавшись тем, что правая часть данного уравнения не содержит неизвестной величины, поступим иначе. Умножим уравнение на выражение, сопряженное с его левой частью; получим

Справа стоит произведение суммы на разность, т. е. разность квадратов. Отсюда

или

В левой части данного уравнения стояла сумма квадратных корней; в левой части полученного теперь уравнения стоит разность тех же корней. Запишем данное и полученное уравнения:

Взяв сумму этих уравнений, получаем

или

Возведем в квадрат последнее уравнение и после упрощений получим

Отсюда находим . Проверкой убеждаемся в том, что корнем данного уравнения служит только число . Пример 3. Решить уравнение

Здесь уже под знаком радикала мы имеем квадратные трехчлены.

Решение. Умножаем уравнение на выражение, сопряженное с его левой частью:

отсюда

Вычтем последнее уравнение из данного:

Отсюда

или

Возводим это уравнение в квадрат:

Отсюда

Из последнего уравнения находим . Проверкой убеждаемся, что корнем данного уравнения служит только число х = 1.

Б. У равнения, содержащие корни третьей степени. Системы иррациональных уравнений. Ограничимся отдельными примерами таких уравнений и систем.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Покажем два способа решения уравнения (70.1). Первый способ. Возведем обе части данного уравнения в куб (см. формулу (20.8)):

(здесь мы заменили сумму кубических корней числом 4, пользуясь уравнением ).

Итак, имеем

или

т. е., после упрощений,

откуда Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Второй способ. Положим

Уравнение (70.1) запишется в виде . Кроме того, видно что . От уравнения (70.1) мы перешли к системе

Разделив первое уравнение системы почленно на второе, найдем

и уже легко решим систему вида

Ее решения: .

Из равенства находим при и :

Рассмотрим теперь примеры решения систем уравнений с двумя неизвестными, из которых по крайней мере одно уравнение иррациональное.

Пример 5. Решить систему уравнений

Решение. Обозначим . Это позволит первое уравнение системы записать в виде

откуда . Взяв , найдем

Теперь из второго уравнения системы находим Из корней этого неполного квадратного уравнения берем только (корень отбрасываем; почему?). Отсюда .

Если взять то получим (читатель проведет все необходимые для этого выкладки самостоятельно). Итак, данная система имеет следующие решения: .

Пример 6. Решить систему уравнений

Решение. Возведя в квадрат первое уравнение, получим

С помощью второго уравнения системы найдем

Последнее уравнение является квадратным относительно Уху. Из него находим только положительное значение откуда , и данную систему тем самым сводим к системе

Решив эту систему, найдем, что пара чисел (1, 1) служит единственным решением и ее, и исходной системы.