Глава 2. Матрицы и определители.

Действия над матрицами.

Задача 1А. Найти сумму и разность матриц: +

Решение. Складываем поэлементно:

 = .

Вычитаем:

 = .

Ответ. Сумма:  разность: .

Задача 1Б. Найти сумму матриц: +

Решение. Складываем поэлементно:

 = .      Ответ. .

Задача 2. Даны матрицы , . 

Найти  и .

Решение. Заметим, что размеры согласованы (2*3 и 3*2). Если первую разбить на строки, а вторую на столбцы, то видно, что есть всего 4 варианта скалярно умножить друг на друга вектор-строку их первой на вектор-столбец из второй.

Например, если умножаем строку номер 1 на столбец номер 2, то и число, которое при этом получается, ставим в 1 строку 2 столбец новой матрицы. Итак,

 = .    

Теперь найдём . В данном случае первую матрицу можно разрезать на 3 строки, а вторую на 3 столбца. Таким образом, получаем 9 чисел.

Покажем, например, как 1-я строка скалярно умножается на 1-й столбец, они обведены. .

Ответ. .   

Задача 3. Дана матрица  найти .

Решение. Умножим матрицу саму на себя, то есть две её копии напишем рядом и умножим их.

 =  =

 = .  Ответ. .

Как видно из этого примера, для матриц, в отличие от чисел, возможно, что получается нулевой объект в ответе, притом что в исходной матрице вообще ни одного нуля не было. Это из-за особенностей её строения: правый столбец в 2 раза меньше, чем левый, а нижняя строка в минус 2 раза больше, чем верхняя. И вообще, если взять пару матриц, где у первой будет пропорциональность строк (в k раз больше) а у второй - столбцов (в минус k раз меньше) получим такой же эффект.

Задача 4. Даны матрицы . Найти .

Решение. =  = .

 = = .

Ответ. .

 

Задача 5. Найти произведение матриц .

Решение. Размеры согласованы: длина строки 1-й матрицы равна высоте столбца 2-й матрицы. Первую можно мысленно разрезать на 2 строки, вторую на 3 столбца. Итого будет 6 различных произведений строк на столбцы.

 = . Ответ. .

* 20 минут - контр. задача № 2

(система уравнений в поле вычетов).

Практика № 6.

Задача 6. Вычислить  и .

Заметим, что получаются 1-й и 2-й столбец матрицы.

= , = .

Замечание. При умножении квадратной матрицы на вектор-столбец получается снова вектор-столбец, то есть квадратная матрица фактически выступает в роли функции, отображающей векторы в пространстве (или на плоскости, если n = 2). Коротко о понятии линейного оператора и строении его матрицы и о том, что при умножении на i-й базисный вектор получается столбец номер i.

Задача 7А. Найти произведение: .

Задача 7Б. .

Решение. В 1-м случае размеры  и , согласованы, умножение возможно. Во 2-м случае  и , тоже согласованы (хоть столбцов и больше, но всё равно длина строки 1-й матрицы равна высоты столбца 2-й матрицы). Просто в ответе для 3Б получится ещё один лишний столбец справа.

 =  =

 = .

Для пункта «Б» 1-я и 2-я строка умножаются не только на 1-й и 2-й, но ещё и на 3-й столбец. Дополнительно получаем

 =  = .

Выделим красным цветом новый столбец:

Ответ. 7А: , 7Б: .

Задача 8. Даны матрицы

, , . Найти .  

Решение. Так как матрица С находится справа во всех слагаемых, то для удобства можно использовать приведение подобных  =  - тогда умножение надо будет проводить всего один раз, а не два.

Сначала запишем .

= = .

Теперь умножим на матрицу С. Точно так же, как и в прошлом примере, мысленно обведём строку из 1-й матрицы на столбец из 2-й.

Есть 4 варианта это сделать:

 =  =  = .  

Ответ. . 

Задача дом-1. Найти . Ответ. .

Задача дом-2.    Найти .  

Ответ. , .

Задача дом-3. . Найти . 

Ответ. , .

Задача 9. Дана матрица . Найти . 

Решение. Сначала умножим две, и найдём .

 =  = .

Теперь домножим ещё на одну матрицу А, чтобы найти .

 =  = .

Ответ. .

Замечание. Несмотря на то, что в общем случае коммутативности по умножению матриц нет, но если матрица  совпадает с матрицей , тогда . Например, в этой задаче,  из-за ассоциативности, т.е. неважно, домножить третий раз слева или справа.

 

Задача дом-4. Найти  для этой же матрицы. Замечание. Здесь есть 2 метода решения: либо умножить , полученную в прошлой задаче, ещё раз на , либо взять , полученную на первом этапе, и её умножить саму на себя. Ответ. . 

Задача 10. Найти произведение , где

, , .

Решение. Вычислим , сначала умножим первые две матрицы:

 = . Теперь умножим на третью матрицу.

 = . Ответ. .

Замечание. Если вычислять , то получается точно такой же результат, т.к. выполняется закон ассоциативности. 

Определители.

Задача 11.  = .  

Для параллелограмма, построенного на базе системы векторов (2,1) и (1,2), площадь равна 3. Если область 2’ перенести в область 2, то видно, что получается половина прямоугольника площади 2 (выделено жёлтым). То есть площадь равна 1. Аналогично 3’ в 3. Там тоже площадь 1. Кроме того, в центре квадрат площади 1.

Задача 12. Найти определитель .

Решение.  = .

Ответ. 18.     

Задача 13. Найти определитель  

Решение. Допишем копии первых двух столбцов, проведём 3 параллельных линии (главная диагональ и ещё две). Перемножим все эти тройки элементов и внесём в общую сумму с их исходным знаком. А вот для побочной диагонали и линий, ей параллельных, со сменой знака.

 =

.

  Ответ. .

 

 

Задача 14. Найти определитель .

Решение.

То, что перемножено по зелёным линиям, включим в сумму со знаком плюс, а по красным - со знаком минус.

 = .

Ответ. 5.

Задача 15. Найти определитель . 

Решение.

.      Ответ. 11.   

Задача 16. Найти определитель .

Решение.

. Ответ. .

Задача 17. Вычислить определитель .

Решение. Заметим, что 1-й и 3-й столбец содержат очень похожие группы элементов а именно 1 и 2. Вычтем из 1-го столбца 3-й, а затем разложим по 1-му столбцу.

   =  =  =

.       Ответ. 24.

Задача 18 (с параметром).

Найти параметр , при котором определитель равен 0:

.

Решение. Вычислим определитель и решим получившееся уравнение:

, , , .

Ответ. .

Задача Дом-4. Вычислить определитель . Ответ. 28.

Задача дом-5. Вычислить определитель . Ответ. 50.

Задача дом-6. Найти определитель  . Ответ. .

Задача дом-7. Найти параметр , при котором определитель равен 6:

.      Ответ. 4,2.

Задача 19. Вычислить определитель  с помощью разложения по первой строке.

Решение. Выберем дополняющий минор для каждого элемента 1-й строки, и домножим на

 =

 =   = 8.   Ответ. 8.

Замечание. Можно было из 2 столбца вычесть 1-й.

Задача 20. Вычислить определитель   методом Гаусса (приведением к треугольной форме).

Решение. Вычитаем из 2-й строки удвоенную 1-ю, и из 3-й 1-ю.

 =   

затем вычитаем из 3-й строки 2-ю.

получили  = 2.   Ответ. 2.

 

Задача 21. Вычислить определитель .

Решение. Прибавим 1-ю строку ко 2-й, 3-й и 4-й.

. Эта матрица треугольная, определитель равен произведению чисел по диагонали, то есть 24.  

Ответ. 24.

Задача 22 (а,б). Вычислить определитель 4 порядка двумя способами: а) разложением по 1-й строке. б) с помощью преобразований матрицы.

Решение. Первый способ.

Разложение по 1-й строке:

Очевидно, что последние 2 минора 3-го порядка вычислять не надо, так как они умножаются на 0. Осталось вычислить два минора 3 порядка, то есть мы свели определитель 4 порядка к определителям 3 порядка.

= .

Ответ. 0.

Второй способ. Из 2-го столбца вычтем 1-й

 

А теперь разложим по 1-й строке, причём реально для вычисления останется только один минор третьего порядка.

 . Теперь ко 2-й строке прибавим 1-ю а из 3-й вычтем утроенную 1-ю. А затем уже к 3-й строке прибавляем 2-ю.

 =  =  = 0.

Ответ. 0.

Задача дом-8. Вычислить определитель . Ответ. .

Задача 23. Вычислить определитель .

Решение. В последней строке, а также в последнем столбце, столбце видим 2 нуля и 2 ненулевых элемента. Можно сделать так, чтобы было 3 нулевых элемента. Прибавим удвоенную 3-ю строку ко 2-й:

 = , теперь разложим по последнему столбцу, будет нужно вычислить всего 1 из 4 миноров порядка 4, так как остальные умножаются на 0.

 =  = .

Теперь можно от 3-го столбца отнять 2-й, умноженный на 8.

 =  

а далее разложить по последней строке:

 =   = ,

вынесем общий множитель 4 из 1 столбца:

 = =  =  =  =  = 1212.     Ответ. 1212.

 

Задача 24. Доказать, что третий столбец матрицы является линейной комбинацией первых двух, и найти коэффициенты этой комбинации.

Решение.  Во-первых, если вычислить определитель и обнаружить, что он равен 0, то этим самым уже доказана линейная зависимость столбцов. Однако требуется найти коэффициенты, поэтому запишем систему уравнений: 

 

Прибавим удвоенное 1-е уравнение ко 2-му, и вычтем утроенное 1-е из 3-го.

 отсюда видно, что , тогда .

Ответ. коэффициенты линейной комбинации равны 1 и 2.   

Замечание. ЛЗС образуют также и строки, из 1-й вычесть 2-ю = 3-я.