Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Глава 2. Матрицы и определители.
Действия над матрицами. Задача 1А. Найти сумму и разность матриц: + Решение. Складываем поэлементно: = . Вычитаем: = . Ответ. Сумма: разность: . Задача 1Б. Найти сумму матриц: + Решение. Складываем поэлементно: = . Ответ. . Задача 2. Даны матрицы , . Найти и . Решение. Заметим, что размеры согласованы (2*3 и 3*2). Если первую разбить на строки, а вторую на столбцы, то видно, что есть всего 4 варианта скалярно умножить друг на друга вектор-строку их первой на вектор-столбец из второй. Например, если умножаем строку номер 1 на столбец номер 2, то и число, которое при этом получается, ставим в 1 строку 2 столбец новой матрицы. Итак, = . Теперь найдём . В данном случае первую матрицу можно разрезать на 3 строки, а вторую на 3 столбца. Таким образом, получаем 9 чисел. Покажем, например, как 1-я строка скалярно умножается на 1-й столбец, они обведены. . Ответ. . Задача 3. Дана матрица найти . Решение. Умножим матрицу саму на себя, то есть две её копии напишем рядом и умножим их. = = = . Ответ. . Как видно из этого примера, для матриц, в отличие от чисел, возможно, что получается нулевой объект в ответе, притом что в исходной матрице вообще ни одного нуля не было. Это из-за особенностей её строения: правый столбец в 2 раза меньше, чем левый, а нижняя строка в минус 2 раза больше, чем верхняя. И вообще, если взять пару матриц, где у первой будет пропорциональность строк (в k раз больше) а у второй - столбцов (в минус k раз меньше) получим такой же эффект. Задача 4. Даны матрицы . Найти . Решение. = = . = = . Ответ. .
Задача 5. Найти произведение матриц . Решение. Размеры согласованы: длина строки 1-й матрицы равна высоте столбца 2-й матрицы. Первую можно мысленно разрезать на 2 строки, вторую на 3 столбца. Итого будет 6 различных произведений строк на столбцы. = . Ответ. . * 20 минут - контр. задача № 2 (система уравнений в поле вычетов). Практика № 6. Задача 6. Вычислить и . Заметим, что получаются 1-й и 2-й столбец матрицы. = , = . Замечание. При умножении квадратной матрицы на вектор-столбец получается снова вектор-столбец, то есть квадратная матрица фактически выступает в роли функции, отображающей векторы в пространстве (или на плоскости, если n = 2). Коротко о понятии линейного оператора и строении его матрицы и о том, что при умножении на i-й базисный вектор получается столбец номер i.
Задача 7А. Найти произведение: . Задача 7Б. . Решение. В 1-м случае размеры и , согласованы, умножение возможно. Во 2-м случае и , тоже согласованы (хоть столбцов и больше, но всё равно длина строки 1-й матрицы равна высоты столбца 2-й матрицы). Просто в ответе для 3Б получится ещё один лишний столбец справа. = = = . Для пункта «Б» 1-я и 2-я строка умножаются не только на 1-й и 2-й, но ещё и на 3-й столбец. Дополнительно получаем = = . Выделим красным цветом новый столбец: Ответ. 7А: , 7Б: . Задача 8. Даны матрицы , , . Найти . Решение. Так как матрица С находится справа во всех слагаемых, то для удобства можно использовать приведение подобных = - тогда умножение надо будет проводить всего один раз, а не два. Сначала запишем . = = . Теперь умножим на матрицу С. Точно так же, как и в прошлом примере, мысленно обведём строку из 1-й матрицы на столбец из 2-й. Есть 4 варианта это сделать: = = = . Ответ. . Задача дом-1. Найти . Ответ. . Задача дом-2. Найти . Ответ. , . Задача дом-3. . Найти . Ответ. , . Задача 9. Дана матрица . Найти . Решение. Сначала умножим две, и найдём . = = . Теперь домножим ещё на одну матрицу А, чтобы найти . = = . Ответ. . Замечание. Несмотря на то, что в общем случае коммутативности по умножению матриц нет, но если матрица совпадает с матрицей , тогда . Например, в этой задаче, из-за ассоциативности, т.е. неважно, домножить третий раз слева или справа.
Задача дом-4. Найти для этой же матрицы. Замечание. Здесь есть 2 метода решения: либо умножить , полученную в прошлой задаче, ещё раз на , либо взять , полученную на первом этапе, и её умножить саму на себя. Ответ. . Задача 10. Найти произведение , где , , . Решение. Вычислим , сначала умножим первые две матрицы: = . Теперь умножим на третью матрицу. = . Ответ. . Замечание. Если вычислять , то получается точно такой же результат, т.к. выполняется закон ассоциативности. Определители. Задача 11. = .
Для параллелограмма, построенного на базе системы векторов (2,1) и (1,2), площадь равна 3. Если область 2’ перенести в область 2, то видно, что получается половина прямоугольника площади 2 (выделено жёлтым). То есть площадь равна 1. Аналогично 3’ в 3. Там тоже площадь 1. Кроме того, в центре квадрат площади 1.
Задача 12. Найти определитель . Решение. = . Ответ. 18. Задача 13. Найти определитель Решение. Допишем копии первых двух столбцов, проведём 3 параллельных линии (главная диагональ и ещё две). Перемножим все эти тройки элементов и внесём в общую сумму с их исходным знаком. А вот для побочной диагонали и линий, ей параллельных, со сменой знака. = . Ответ. .
Задача 14. Найти определитель . Решение. То, что перемножено по зелёным линиям, включим в сумму со знаком плюс, а по красным - со знаком минус. = . Ответ. 5. Задача 15. Найти определитель . Решение.
. Ответ. 11. Задача 16. Найти определитель . Решение. . Ответ. . Задача 17. Вычислить определитель . Решение. Заметим, что 1-й и 3-й столбец содержат очень похожие группы элементов а именно 1 и 2. Вычтем из 1-го столбца 3-й, а затем разложим по 1-му столбцу. = = = . Ответ. 24. Задача 18 (с параметром). Найти параметр , при котором определитель равен 0: . Решение. Вычислим определитель и решим получившееся уравнение: , , , . Ответ. . Задача Дом-4. Вычислить определитель . Ответ. 28. Задача дом-5. Вычислить определитель . Ответ. 50. Задача дом-6. Найти определитель . Ответ. . Задача дом-7. Найти параметр , при котором определитель равен 6: . Ответ. 4,2. Задача 19. Вычислить определитель с помощью разложения по первой строке. Решение. Выберем дополняющий минор для каждого элемента 1-й строки, и домножим на = = = 8. Ответ. 8. Замечание. Можно было из 2 столбца вычесть 1-й. Задача 20. Вычислить определитель методом Гаусса (приведением к треугольной форме). Решение. Вычитаем из 2-й строки удвоенную 1-ю, и из 3-й 1-ю. = затем вычитаем из 3-й строки 2-ю. получили = 2. Ответ. 2.
Задача 21. Вычислить определитель . Решение. Прибавим 1-ю строку ко 2-й, 3-й и 4-й. . Эта матрица треугольная, определитель равен произведению чисел по диагонали, то есть 24. Ответ. 24. Задача 22 (а,б). Вычислить определитель 4 порядка двумя способами: а) разложением по 1-й строке. б) с помощью преобразований матрицы.
Решение. Первый способ. Разложение по 1-й строке:
Очевидно, что последние 2 минора 3-го порядка вычислять не надо, так как они умножаются на 0. Осталось вычислить два минора 3 порядка, то есть мы свели определитель 4 порядка к определителям 3 порядка. = . Ответ. 0. Второй способ. Из 2-го столбца вычтем 1-й
А теперь разложим по 1-й строке, причём реально для вычисления останется только один минор третьего порядка. . Теперь ко 2-й строке прибавим 1-ю а из 3-й вычтем утроенную 1-ю. А затем уже к 3-й строке прибавляем 2-ю. = = = 0. Ответ. 0. Задача дом-8. Вычислить определитель . Ответ. . Задача 23. Вычислить определитель . Решение. В последней строке, а также в последнем столбце, столбце видим 2 нуля и 2 ненулевых элемента. Можно сделать так, чтобы было 3 нулевых элемента. Прибавим удвоенную 3-ю строку ко 2-й: = , теперь разложим по последнему столбцу, будет нужно вычислить всего 1 из 4 миноров порядка 4, так как остальные умножаются на 0.
= = . Теперь можно от 3-го столбца отнять 2-й, умноженный на 8. = а далее разложить по последней строке: = = , вынесем общий множитель 4 из 1 столбца: = = = = = = 1212. Ответ. 1212.
Задача 24. Доказать, что третий столбец матрицы является линейной комбинацией первых двух, и найти коэффициенты этой комбинации. Решение. Во-первых, если вычислить определитель и обнаружить, что он равен 0, то этим самым уже доказана линейная зависимость столбцов. Однако требуется найти коэффициенты, поэтому запишем систему уравнений:
Прибавим удвоенное 1-е уравнение ко 2-му, и вычтем утроенное 1-е из 3-го. отсюда видно, что , тогда . Ответ. коэффициенты линейной комбинации равны 1 и 2. Замечание. ЛЗС образуют также и строки, из 1-й вычесть 2-ю = 3-я.
|
|||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-17; просмотров: 73; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.238.20 (0.076 с.) |