П. 53. Гиперкомплексные числовые системы. Кватернионы.

Если по аналогии перехода от действительных чисел к комплексным, удвоить размерность и образовать числа вида  из пары комплексных чисел, где второе умножено ещё на какой-то объект , то получается 4-мерная система с тремя мнимыми единицами и числами вида , которые называются кватернионами.

 

При этом  это мы изначально называем произведение 1-й и 2-й мнимых единиц некоторой третьей мнимой единицей.

Получается антикоммутативная система с умножением:

, , ,        , , .

. Умножение на 1 сохраняет любой объект неизменным.

 

 

Таблица умножения базисных элементов системы кватернионов.

	1
1	1

Обратите внимание, что законы умножения в системе кватернионов , ,  легко запомнить, если представить с помощью цикла:

При умножении каждой пары получается следующий, если двигаться строго по часовой стрелке. Ещё обратите внимание, что мнимые единицы системы кватернионов подчиняются таким же законам, как векторное умножение в 3-мерном пространстве. Там тоже , , . Векторное произведение пары векторов есть общий перпендикуляр к ним, причём так чтобы получалась правоориентированная тройка. Векторное умножение было придумано Гамильтоном в 1843 году одновременно с системой кватернионов.

 

Как и для комплексных чисел, здесь есть понятие «сопряжённый кватернион». Если  то . При этом , то есть можно также ввести понятие модуля кватерниона:  = .

Подробнее о том, почему получается .

 =

 =

 но система антикоммутативна, т.е. , поэтому все эти суммы в скобках равны 0, вот и остаётся .

«Тело кватернионов». Кватернионы не образуют поле, так как умножение не коммутативно.

 

В конце пары: сам. работа 20 минут по алг. операциям

 

Дополнительно:

1. Установите изоморфизм групп: всех комплексных корней степени n из единицы и вычетов по модулю n.

2. Сколько существует различных матриц порядка n над полем вычетов ? 

3. Привести пример обратимой матрицы порядка 2 над полем вычетов , найти обратную.

4. Доказать, что многочлен  может иметь больше, чем 3 корня, в кольце вычетов. Найти пример кольца вычетов, в котором он имеет 4 различных корня.

5. Решить систему уравнений 3 порядка в поле :

6. Доказать, что алгебра матриц вида

изоморфна алгебре кватернионов.

7 Zn (n не простое) построить систему, не имеющую решений.

 

Практика 5

Линейные пространства.

Задача 54.  Являются ли линейно зависимыми функций:

а) . б) . в)      г)

Решение.

Если система функций ЛЗС, то очевидно, что система функций, состоящая из их производных, тоже ЛЗС.

. Аналогичное верно для производных любого порядка. Далее, проведём решение с помощью определителя Вронского. На лекции мы уже ввели понятие определителя и изучили его свойства. В частности, определитель равен 0  его строки (столбцы) образуют линейно зависимую систему векторов (см. свойство 9). Если мы достроим до квадратной матрицы, добавляя во 2-й строке производные, в 3-й вторые производные и т.д., то столбцы будут образовывать ЛЗС  система функций ЛЗС. Такой определитель называется определителем Вронского:

 

 

.

Значит, мы можем проверить линейную зависимость системы функций с помощью определителя (если он тождественно равен 0, то ЛЗС).

а) . .

б) .  

 =  =  = , не равно тождественно нулевой функции, система линейно-независима, ЛНС.

Можно было рассуждать иначе, без определителя:

Пусть , тогда было бы тождественно , что невозможно, поэтому система ЛНС.

в)      

 =  = , при эта функция не равна тождественно 0. Система ЛНС.

г) . Система ЛНС.

Задача 55.  Являются ли линейно зависимыми функции:

.

Решение.

Мы тоже могли бы решать с помощью определителя Вронского, однако рассмотрим и другой метод. Покажем, что линейная комбинация синуса и косинуса разных амплитуд равна косинусу с другой фазой (это будет впоследствии нужно и при изучении рядов Фурье).

 =  =

= . 

Итак, третья функция линейно выражается через первые две, значит, система ЛЗС.

Решить с помощью W(x) - дом задание.

 

Задача 56. Доказать, что пересечение подпространств является подпространством.

Решение. Пусть  являются подпространствами .

Если элементы принадлежат пересечению, , то они принадлежат любому из . Но каждое  является подпространством, следовательно, , . 

Тогда , .

Задача 57. Доказать, что множество квадратных матриц 2 порядка образует 4-мерное пространство, найти какой-либо его базис.

Решение. Абелева группа (проверяли ранее) по сложению.

Свойства умножения на константы: 

1) .

2)       

3а)    3б) .

Базис: A= , B= , C= , D= . 

Всякая матрица может быть представлена в виде

. 

Замечание. Пространство квадратных матриц порядка  имеет размерность , пространство прямоугольных матриц размера  - размерность . 

 

Задача 58. 1) Множество многочленов степени не выше n образует линейное пространство (доказано в лекциях). Каковы его размерность, базис?

2) Доказать, что множество многочленов  также является базисом.

Решение. . 

Базис . Размерность n+1. Линейную независимость этой системы можно проверить с помощью определителя: 

 = .  

2)  =

Каждый многочлен можно разложить не только по основному, но и по другому базису. Так, например,  =  = .  

Приближённое выражение произвольной функции с помощью степенных выражает формула Тейлора:  

- обобщение понятия касательной. Если рассмотреть только до 1-й степени, это уравнение касательной.

 

Если продолжить этот процесс до бесконечности, получили бы

ряд Тейлора:

Для многочлена, начиная с некоторого порядка, производные станут 0, поэтому ряд конечный, и формула Тейлора задаёт не приближённо, а точно. В то же время, это способ задать многочлен по другому основанию.

Задача 59. а) разложить многочлен  по степеням .

б) разложить многочлен  по степеням .

Решение.   а)

    

              

Подставляем в формулу Тейлора.

= .

Проверка:  =  = .

б) 

  

        

             

 =

 =  . 

Проверка:  =

 = . 

Замечание. Множество всех многочленов степени ровно n не образует линейное пространство: если старший коэффициент одинаковый, то разность имеет степень меньше n.

 

- - - Перерыв - - -