Уравнения в кольцах вычетов.

Задача 43.  Решить уравнение  в кольце .  

Решение. . Смежный класс, соответствующий , это класс . Чтобы получить это, прибавляем по 5, пока не попадём в множество . 

Итак, . 

Далее, ищем, при умножении  на какой элемент результат равен .

Этим элементом является . 

Можно было найти дополняющий в  и таким образом. Выбираем первое число из этого смежного класса, которое бы нацело делилось на 2. Такое число среди  есть число 8. 

. Поэтому . 

Проверка.  ?  Получаем  , что равносильно 

, что далее равно , а так как по модулю 5, то это и есть . 

Примечание. В кольце  не каждое уравнение имеет решение. Там не для каждого есть обратный элемент. Так,   не имеет решения (см. таблицу). Впрочем, даже в кольце  не всякое уравнение имеет решение: например,  решение не целое.

 

Практика 4.    

Задача 44.  а) Решить уравнение  в кольце . 

б) Решить уравнение  в кольце . 

в) Решить уравнение  в кольце .

Решение.  а) Нужно найти, квадрат какого числа при делении на 10 даёт остаток 1. Квадраты первых 10 натуральных чисел: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100

Квадрат числа 9 равен 81 и имеет вид , то есть равен 1 по модулю 10. Таким образом, .

б) Аналогично, , так как минимальное число, квадрат которого имеет вид , равно 4 (его квадрат 16). 

Также решением является и  (так как 10 не простое число, то  не поле, а кольцо, и решение там не единственно).

в) Минимальное число, квадрат которого имеет вид , есть 19. Его квадрат 361.

Задача 46.  Решить уравнение  в кольце . 

Решение.   Запишем кубы натуральных чисел: 1,8,27,64,125,216, 343,.   первое из них, имеющее вид , есть 343. Поэтому . 

 

Задача 47. Решить систему уравнений в поле вычетов :

Решение.   Прибавим 1-е уравнение ко 2-му, получим  

, что приводит к , а значит, . Теперь ищем число, при умножении на 3 дающее остаток 4 при делении на 5. Проверяем числа 3,6,9,... первое такое число 9.

Таким образом, . Итак, . 

Подставим во 2-е уравнение. .

Ответ. Решение системы уравнений: , . 

Проверка. .

 

Задача 48. Решить систему уравнений в поле вычетов :

Решение.    Прибавим ко 2-му уравнению удвоенное 1-е, чтобы при первой неизвестной получить , эквивалентное .

          

.  

Подставим  в любое уравнение. Например, в 1-е.

.

Ответ. , .

2 способ - вычесть 1-е из 2-го.  

Проверка. .

Задача 49. Решить систему уравнений в .

Решение. Вычтем из второго уравнение 1-е.

Получится

 . 

Теперь подставим в какое-нибудь уравнение, например 1-е.

  

Итак, . Ищем такое число, кратное 3, которое при делении на 7 дало бы остаток 5. 3,6,9,12,... Такое число 12 = 7+5. Тогда . 

Ответ.  , .

Проверка.     , , . Остатки от деления именно таковы, 2 и 1.

Задача 50. Доказать, что множество комплексных чисел  образует поле.

Решение. Абелева группа по сложению:

Нейтральный 0, противоположный .

Нейтральный и обратный по умножению есть:

1 и = = = .

(см. задача 27).

Дистрибутивность.  

1)  =  =

 =

 . 

2)  =

 =

.

Задача 51. Доказать, что поле комплексных чисел изоморфно множеству матриц вида .

Решение. Рассмотрим отображение  и докажем, что это изоморфизм. , .

Докажем, что сумма комплексных чисел соответствует сумме матриц, а произведение - произведению матриц.

 = .

 = .

- - - Перерыв - - -

Задача 52. Доказать, что поле   не изоморфно .

Решение.  Если есть изоморфизм, то должно быть , .  

Противоречие:

 =

.