Критерий согласия Шапиро-Уилка.

Для проверки на нормальность выборки случайной величины ,  , длина  которой не превышает 50, случайная величина представляется в виде вариационного ряда в порядке возрастания значений. Статистика критерия Шапиро-Уилка рассчитывается по выражению:

                                                       ,                                           

где , а коэффициент  вычисляется по зависимости

                                       .

Значения коэффициентов  для  приведены в соответствующих таблицах работ. При этом, если  четное, то , в противном случае, при нечетном , величина  рассчитывается по формуле .

Следуя критерию Шапиро-Уилка, гипотеза о подчинении распределения случайной величины  нормальному закону принимается, если выполняется следующее неравенство:

                                                    ,                                          

где - критическое значение критерия Шапиро-Уилка при уровне значимости . Величина  зависит не только от , но и от объема выборки  и приводится в справочных таблицах.

 

ПРИМЕР

Имеются 10 независимых отсчетов процесса:

-0,6     0,33     0,55     0,12     -1,29      -0,5      -1,05    1,95    0,07       1,83

Составляем вариационный ряд:

                 

                     

Величины =10,               Найдем суммы:   

и вычислим

По таблице определим коэффициенты:

    

Вычисляем

Статистика критерия   

Таблица для определения значений коэффициентов

 

Критические значения критерия Шапиро-Уилка

Гипотеза принимается при  и отвергается при

             ; . Задаемся вероятностью принятия гипотезы о принадлежности выборки нормальному закону

            Гипотеза отвергается.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МЕТОДАМИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Функция плотности распределения на основе имеющейся выборки случайной величины

.   на основе оценок Парзена-Розенблатта

представляется в виде: ,

где  - ядерная функций; -параметр размытости, или ширина окна Парзена-Розеньлатта.

Примеры ядерных функций:

Нормальное	Лапласа	Фишера
Коши	Логистическое	Епанчикова
Равномерное	Треугольное	Квадратичное

Механистическая аналогия ядерных функций

            Нормальное ядро                                                                Ядро Лапласа

h=5 h=20

h=5 h=20

 

 

                              Ядро Коши                                                            Ядро Епанчикова      

h=5 h=20

h=5 h=20

 

 

АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МЕТОДАМИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Задана выборка случайной величины:    .

1. Выбираем ядерную функцию из числа известных.

2. Определение оптимального значения параметра размытости ():

Поиск  при котором интеграл качества достигает максимума

        

После решения этой задачи неизвестная функция плотности распределения восстановлена:

                                                 .

Функция плотности распределения с нормальным ядром

, где