Логарифмически нормальный закое

В том случае, когда логарифм рассматриваемой случайной величины распределен нормально, возникает логарифмически-нормальный закон. Плотность вероятности логарифмически-нормального закона описывается зависимостью:

 , 

 – математическое ожидание (параметр положения);

 – математическое ожидание (параметр формы).

 

 

Функция плотности распределения для логарифмически нормального закона.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ χ-КВАДРАТ ПИРСОНА

В случае, когда случайная величина представляет собой последовательность квадратов случайной величины, возникает закон распределения χ-квадрат Пирсона. Плотность вероятности закона выражается зависимостью:

где  – частные значения случайной величины; n – число наблюдений (число степеней свободы);

 –гамма-функция Эйлера/

Функция плотности распределения вероятности χ-квадрат Пирсона в зависимости

от числа наблюдений

 

По мере увеличения числа наблюдений n закон распределения χ-квадрат Пирсона приближается к нормальному закону.

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮТЕНТА (t – распределение)

Если имеются две случайные величины x и y и первая из них центрированная и нормированная распределена по нормальному закону, а вторая по закону χ-квадрат Пирсона, то их отношение:

образует распределение Стьюдента, плотность вероятности которого выражается зависимостью:

где t – случайная величина; n – число испытаний (степеней свободы). Закон является однопараметрическим. Параметром является число степеней свободы . Следует отметить, что при n → ∞   t -распределение стремится к нормальному закону.

Распределение Стьюдента (по сравнению с нормальным законом) приписывает большую вероятность большим отклонениям и меньшую – малым отклонениям.

Функции плотности распределения вероятности нормального закона и закона Стьюдента.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН

В случае, когда рассматриваемое явление характеризуется внезапными отказами изделия (например, в теории надежности), распределение времени их возникновения описывается с помощью показательного закона, плотность вероятности которого имеет вид:

где t – случайная величина, например время работы ЭЦН до его внезапного отказа;  – математическое ожидание случайной величины (параметр положения); μ – интенсивность (среднее число событий в единицу времени).

 

Функция плотности распределения вероятности показательного закона

ЗАКОН ВЕЙБУЛЛА

Плотность вероятности закона Вейбула выражается зависимостью:

где t – случайная величина; n – параметр формы; μ – параметр масштаба. r – случайная величина, вызываемая, например, радиальным биением вала, (эксцентриситетом), несоосностью деталей и т.д.

Закон Вейбулла преобразуется в показательный закон при n = 1 ив закон Релея при n = 2. При n = 3,25 закон Вейбулла преобразуется в нормальный закон.

 

Функция плотности распределения вероятности закона Вейбулла

ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Гамма-распределение представляет собой суперпозицию, т.е. наложение нескольких показательных законов. Плотность вероятности такого закона выражается зависимостью:

где t – случайная величина, например время;  – параметр, численно равный числу складываемых показательных законов; λ – параметр, численно равный интенсивности числа событий каждогоиз складываемых законов;  – гамма-функция Эйлера.

При   = 1 гамма-распределение преобразуется в показательный закон, а при  = 2 – в закон Эрланга первого порядка. При  и  гамма-распределение преобразуется взакон распределения χ-квадрат Пирсона.

 

Функции плотности распределения вероятности гамма-распределения в зависимости от параметров α иλ.