Распределение фишера ( f -распределение)

Если имеются две случайные величины,распределенные по законам χ-квадрат Пирсона со степенью свободы К₁ и К₂, то их отношение образует распределение Фишера:

.

 

Функции плотности распределения вероятности закона Фишера в зависимости отпараметров К₁ и К₂

 

При К → ∞ F -распределение преобразуется в нормальный закон. F - распределение применяется в дисперсионном анализе и при проверке адекватности математической модели.

КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ

В теории математической статистики для проверки соответствия экспериментальных данных выбранному виду гипотетического распределения разработан широкий ряд достаточно строгих аналитических критериев согласия: Пирсона (), типа Колмогорова-Смирнова, и другие.

Критерий Пирсона. Проверка гипотезы о соответствии эмпирического распределения исследуемой случайной величины  предполагаемому теоретическому (гипотетическому) распределению  на основе критерия Пирсона () [17, 31, 70, 72] возможна для любых видов функции , значения параметров которых неизвестны. Именно такой случай имеет место при статистической обработке данных усталостных испытаний. Процедура использования критерия  заключается в следующем. Исследуемая выборка случайной величины ,  разбивается на  интервалов, ширина которых обычно принимается одинаковой. Для каждого интервала устанавливается число попаданий  в него значений случайной величины (частота). Если интервал содержит менее пяти значений случайной величины, то он объединяется с соседним.

Статистикой критерия Пирсона является величина :

                                                                     ,                                            

где - вероятность попадания случайной величины в -й интервал, рассчитанная в соответствии с гипотетическим законом распределения .

Для проверки нулевой гипотезы о соответствии выборочного распределения теоретическому закону  необходимо сравнить вычисленную по зависимости величину  с критическим значением  для уровня значимости  и числа степеней свободы , где -число интервалов после объединения, - число параметров, оцениваемых по выборке. Нулевая гипотеза не отвергается, если выполняется неравенство:

                                                                         .                                      

Более мощным, по сравнению с критерием Пирсона, является критерий согласия типа Колмогорова-Смирнова, позволяющий проверить соответствие эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению , параметры которого заранее известны. В то же время, именно это обстоятельство ограничивает возможность применения критерия типа Колмогорова-Смирнова вследствие того, что параметры функции распределения  оцениваются по данным самой выборки , . Критерий согласия типа Колмогорова-Смирнова основан на распределении максимального отклонения накопленной частости от значения функции распределения и используется только для проверки соответствия опытных данных лишь некоторым конкретным функциям распределения.

Критерий согласия  является, так же как и критерий согласия типа Колмогорова-Смирнова, более мощным, чем , однако процедура его расчета предполагает существенно больший объем вычислений. Пусть в процессе усталостных испытаний  образцов получены значения чисел циклов их деформирования до разрушения , . Обозначим случайную величину  и представим ее значения в порядке возрастания (в виде вариационного ряда): . Статистика критерия  определяется взвешенной суммой квадратов разностей значений между эмпирической и теоретической  функциями распределения:

                                       .                                                           (*)

Здесь: - накопленная частость, рассчитываемая в соответствии с выражением:

                                                          

- теоретическая (гипотетическая) функция распределения;

- весовая функция, принимающая значение либо , либо имеющая вид:

                                                       .                                                             (**)

В том случае, когда , зависимость (*) представляет собой статистику Смирнова, имеющую вид:

                                          .                       

Нулевую гипотезу о принадлежности выборки  функции распределения  не отбрасывают, если выполняется следующее неравенство:

                                         ,                              

где - критическое значение критерия Смирнова,  , , .

Статистика (*) при задании функции  в виде (**) представляет собой статистику Андерсона-Дарлинга. Для ее расчета используется следующее выражение:

                                       .          

Проверка нулевой гипотезы о соответствии выборочного распределения теоретическому закону  выполняется путем сравнения величины  вычисленной по формуле с критическим значением критерия Андерсона-Дарлинга: 1,933; 2,492; 3,857.

Нулевая гипотеза о соответствии выборки ,  функции распределения  не отклоняется, если выполняется неравенство:   ,                                                 

где - уровень значимости (вероятность совершить ошибку первого рода, то есть забраковать верную гипотезу).