Среднее квадратическое отклонение

Одной из основных оценок рассеяния возможных значе­ний случайной величины служит среднее квадратическое от­клонение.

Определение 4. Средним квадратическим отклонением слу­чайной величины X (стандартом) называется квадратный ко­рень из ее дисперсии:

(15.15)

Согласно этому определению, из свойства 3 и формулы (15.13) следует, что в случае суммы взаимно независимых слу­чайных величин справедлива формула

Пример 9. Найти дисперсию и среднее квадратическое откло­нение случайной величины X, заданной следующим распреде­лением:

X    -5    2     3     4     6

р      0,1 0,2 0,3      0,3 0,1

Решение. Имеем М(Х) = 2,6. Составим таблицу распре деления случайной величины X²:

X² 25   4 9     16 36

р 0,1 0,2   0,3    0,3   0,1.

Отсюда получаем, что М(Х²) = 14,4. По формулам (15.11) и (15.15) окончательно получаем искомые значения D (X) н σ (Х):

D (X) = М(Х²) - [М(Х)}² = 7,64, σ (Х) = = 2,76.

Пример 10. Законы распределения независимых случайных величин X и Y приведены соответственно в таблицах:

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Z = 2Х + 3У.

Решение. Согласно свойствам 2 и 3 дисперсии (формулы (15.12) и (15.13)), имеем

D (Z) = D (2 X + ЗУ) = 4 D (X) + 9 D (Y).

Для вычисления дисперсий D (X) и D (Y) составляем соответствующие таблицы — законы распределения случайных вели чин X² и Y ²:

X²    4     0     1     9     16   Y ²      4   16   36   64

р      0,1  0,2  0,3  0,3  0,1; р      0,2  0,4  0,3  0,1.

Отсюда получаем

D (X) = М(Х²)-[   М(Х)]² = 5 - 1,4² = 3,04;

D (Y) = М(У²) - [М(У)]² = 24,4 - 4,6² = 3,24.

 

Искомые дисперсия и среднее квадратичное отклонение слу­чаемой величины Z равны:

Пример 11. В условиях примера 8 найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение прибыли при n = I ООО, р = 0,8, S = 100 тыс. р. и r = 30%.

Решение. Ставка ссудного процента удовлетворяет условию, чтобы математическое ожидание прибыли было положительным:

30 > 100(1 — 0,8)/0,8, Математическое ожидание при­были:

Среднее квадратическое отклонение прибыли:

 

При расчетах дисперсии используют свойство: .

Для биноминально распределенных случайных величин можно применять известные формулы расчета характеристик:

; .

; .

3.1.10. Основные операции над случайными дискретными величинами:

1. Умножение случайной величины на число a:

,     ;

где .

1. Суммирование случайных величин:

, ;

Где ;  .

1. Умножение случайных величин:

,   ;

где ;  .

Пример 1. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Для каждого выданного кредита может наступить одно из событий: он не возвращен -  или возвращен – А, по условию задачи с вероятностями . Вероятности событий неизменны для всех кредитов, следовательно, имеют место независимые повторные испытания, число которых мало .

Х - случайная величина, а именно, число возвращенных кредитов. Рассмотрим событие , а именно - событие В _m, состоящее в том, что событие A наступит в n независимых испытаниях m =0, 1, 2, 3, 4, 5  раз. Для определения вероятности данного события следует применять формулу Бернулли: = . Случайная величина имеет биномиальный закон распределения:

 

	=
	=
	=
	=
	=
	=

 

Характеристики биномиально распределенной случайной величины можно найти, используя известные формулы:

Математическое ожидание - .

Дисперсия - .

Найдем вероятность события -  В, состоящее в том, что число возвращенных кредитов не менее двух, т.е. или 2, или 3, или 4 или 5:

;

 

Пример 2. В населенном пункте три рынка. Вероятность того, что на рынке есть необходимый для господина N товар, равна 0.6. Он пытается купить этот товар. Если на очередном рынке отсутствует данный товар, господин отправляется за ним на следующий рынок. Поиски прекращаются либо с приобретением товара, либо после того как посещены все рынки. Составить закон распределения числа посещенных рынков. Построить функцию распределения найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа посещенных рынков.

Решение. Х – число посещенных рынков. А _i – событие, состоящее в том, чтона i -том посещенном рынке есть необходимый товар, - отсутствует. Вероятности этих событий:

Закон распределения и рабочие расчеты по характеристикам случайной величины:

xi		xi pi	xi^2 pi
1		0.6	0.6
2		0.48	0.96
3		0.48	1.44
å	1.0	1.56	3.0

 

Характеристики случайной величины – числа посещенных рынков:

Математическое ожидание - . 

Дисперсия - .

Среднее квадратическое отклонение - .