Дискретная случайная величина.

Закон распределения случайной дискретной величины - связывает между собой значения случайной величины и вероятности принятия случайной величиной ее значений. Он может быть записан в форме таблицы:

 

		..		..		итого
		..		..		1

 

        Соответствие между отдельными возможны­ми значениями и их вероятностями называется законом распре­деления дискретной случайной величины.

Как и в случае функциональной зависимости, этот закон можно задать таблицей, аналитически (формулой) и графиче­ски. В случае табличного задания закона распределения дис­кретной случайной величины соответствующая таблица состо­ит из двух строк — первая указывает возможные значения, а вторая — их вероятности:

'

Поскольку в одном испытании случайная величина принима­ет только одно возможное значение, то события Х=х₁, Х=х₂ -..., Х=х_п образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна единице:

p ₁ + p ₂ + …+ p_n = 1.

Если множество возможных значений X дискретной слу­чайной величины бесконечно, то соответствующий ряд вероят­ностей сходится и его сумма равна единице:

p ₁ +p₂ +…+ p _n +…= 1.

Пример 1. В денежной лотерее на 100 билетов разыгрывается один выигрыш в 20 р., два выигрыша по 10 р. и 10 выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины X воз­можного выигрыша на один билет.

Решение. Возможные значения X: x ₁ =20, х₂ =10, х₃=1, х₄ =0. Соответственно их вероятности равны: Таким образом искомый закон распределения имеет вид

X 20 10 1 0

Р 0,01 0,02 0,1 0,87.

Пример 2. Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. На­удачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона распре­деления числа стандартных изделий среди отобранных.

Решение. Случайная величина X — число стандартных деталей среди отобранных — может принимать 4 возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятность нахождения к стандартных изделий среди трех отобранных определяется формулой

Варьируя значения к от 0 до 3, получаем искомое распреде­ление:

X    0     1     2 3

Р 0,0179 0,2679 0,5357 0,1785.

Пример 3. Вероятностный прогноз для величины X — про­центного изменения стоимости акций по отношению к их те­кущему курсу в течение шести месяцев — дан в виде закона распределения:

X    5     10 15      20   25   30

Р     0,1  0,1 0,2     0,3  0,2  0,1.

Закон распределения дискретной случайной величины мож­но изобразить графически, соединив в прямоугольной системе координат ХО P точки (х _i,р _i) отрезками прямых. Так, на рис. 15.1 показан закон распределения из примера 3. Такая фигура называет ся многоугольником распределения.

Основные законы распределения случайных величин

Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом ис­пытании постоянна (см. раздел 14.5). В качестве дискретной случайной величины X рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что х₁ =0, х₂=1, х₃ =2,..., х_п+1=п. Вероятности этих возможных значений к даются фор­мулой Бернулли (см. формулу (14.16)):

    (15.2)

где q = 1 - р —     вероятность противоположного события (не по­явление события А в одном испытании). Формула (15.2) пред­ставляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины (числа появления события А в п незави­симых испытаниях), который называется биномиальным. Этот закон получил свое название потому, что правая часть в (15.2) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона (14.2). Таким образом, табличная форма биномиального закона с учетом формулы (15.2) имеет вид

Можно показать, что сумма всех вероятностей второй отро­ки этой таблицы равна единице, т.е.

Пример 4 Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата, кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить табли­цу закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.

Решение. Примем за А событие невозврата кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу 5 кредитов можно считать за 5 независимых событий. Вероятность невоз­врата к кредитов из 5 описывается биномиальным распределе­нием (15.2), где р = 0,2, q = 0,8, к принимает значения от нуля до 5. Искомая таблица закона распределения составляется, со­гласно (15.3), при n = 5:

X 5       4      3                  2            1               0

Р (0,2)⁵ 5(0,2)⁴0,8 10 (0,2)³(0,8)² 10(0,2)²(0,8)³ 5(0,2)(0,8)⁴ (0,8)⁵,

или окончательно:

X    5       4                 3         2         1          0

Р     0,00032  0,0064 0,0512 0,2048 0,4096   0,32768.

 

Распределение Пуассона

Пусть в каждом из п производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Как мы знаем, для определе­ния вероятности к появлений события А используется формула Бернулли (15.2); при больших п пользуются асимптотической формулой Лапласа (14.17). Однако эта формула плохо подхо­дит для случая, когда р мало. Для случая малых значений р и больших значений п используется асимптотическая формула Пуассона, эта формула выведена при важном допущении, что произведение пр является постоянной величиной, т.е. пр = λ. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно к раз, дается формулой, которая представляет собой закон распреде­ления Пуассона вероятностей массовых и редких (маловеро­ятных) событий.

 (15.4)

Пример 5. На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия.

Решение. По условию задачи п = 10 000, р = 0,0003, к = 4. Находим λ, а затем по формуле (15.4) и искомую вероятность:

 

λ = пр= 10000•0,0003 = 3,