Случайные события и их классификация.

Тема 1.1. Случайные события

1. Случайные события и их классификация.

2. Алгебраические действия над событиями.

3. Элементы комбинаторики.

4. Классическое и статистическое определения вероятности.

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

6. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

7. Предельные теоремы в схеме Бернулли (локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа).

 

Случайные события и их классификация.

Испытание – это комплекс условий появления какого-либо случайного явления.

Случайным событием называется такой исход испытания (опыта, эксперимента), который может произойти или не произойти.

События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, D,….

Частота события – отношение числа наступлений события к числу испытаний.

Вероятность события – мера объективной возможности появления события.

 

Классификация событий.

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате испытания; достоверное событие обозначается через .

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате испытания; невозможное событие обозначается через .

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании; в противном случае события называются совместными.

События A₁ , A_2, …. A_n  называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.

Два события называются независимыми, если вероятности их наступления не зависят от наступления других событий в данном испытании.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (то есть все события имеют равные «шансы»).

События A ₁, A ₂, _…, A_n образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

Противоположным событию  называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие .

 

Элементы комбинаторики.

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.

Размещением из n элементов по k   называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее k элементов.

Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по k обозначают символом и вычисляют по формуле:

                                      

где  причем

Пример 1. Составить различные размещения по два элемента из элементов множества А={3, 4, 5} и подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: . Таким образом, всего их шесть. Однако число размещений можно посчитать и по формуле (1.1):

.

Пример 2. Сколькими способами 3 награды (за 1-е, 2-е и 3-е места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований?

Решение. Будем считать, что каждый участник соревнований может получить не более одной награды. Выбрать 3-х участников из 10 можно следующим образом , так как «призовые тройки» отличаются друг от друга либо составом участников, либо порядком их следования.

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Число перестановок обозначается символом P_n и вычисляется по формуле:

Таким образом, указать ту или иную перестановку из n элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Пример 3. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник Д. Лондона, располагая их: 1) в произвольном порядке; 2) так, чтобы 1, 5 и 9 тома стояли рядом.

Решение. 1) Число способов расстановки 10 книг равно числу перестановок из 10 элементов, то есть ;

2) Мысленно связав 1, 5 и 9 тома в одну связку, получим 8 «книг», то есть 7 книг и одну связку книг. Их можно расставить на полке . Каждому из этих способов расстановки соответствуют  способов расстановки книг, находящихся в связке. Таким образом, число возможных расстановок 10 книг, чтобы три определенные книги стояли рядом (1, 5 и 9) равно: .

Сочетанием из n элементов по k   называется любое подмножество данного множества, содержащее k элементов.

Любые два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (то есть отличаются только составом элементов). Число сочетаний из n элементов по k обозначается символом  и вычисляется по формуле:  

Для чисел  справедливы следующие тождества:

 

Пример 4. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: 1) 3 гвоздики; 2) 6 гвоздик одного цвета; 3) 4 красных и 3 розовых гвоздики.

Решение. 1) Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 гвоздики из вазы, в которой стоят 16 гвоздик, можно  способами;

2) Выбрать 6 гвоздик красного цвета можно  способами, а выбрать 6 гвоздик розового цвета можно способами. По правилу сложения выбрать 6 гвоздик одного цвета (красных или розовых) можно способом;

3) Выбрать 4 красных гвоздик из 9 имеющихся можно способами, а 3 розовых из имеющихся 7 можно  способами. Поэтому букет из 4 красных и 3 розовых гвоздик можно составить по правилу умножения  способами.

 

.4. Классическое и статистическое определение вероятности.   

 Пусть производится опыт с n равновозможными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементарными событиями. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным этому событию.

Вероятностью события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу n исходов:

Из классического определения вероятности следуют следующие свойства:

1) вероятность достоверного события равна единице, то есть все исходы являются благоприятными (m = n): ;

2) вероятность невозможного события равна нулю (m =0): ;

3) вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: .

 

Статистическое определение вероятности связывает понятие вероятности с эмпирическим (опытным) понятием относительной частоты случайного события W (A), которая находится по результатам серии опытов.

Относительной частотой случайного события А называется отношение числа опытов, в которых появилось данное событие n_a, к общему числу фактически произведенных опытов n: .

Статистической вероятностью события А называется постоянное число, к которому приближаются значения частоты этого события по мере увеличения числа опытов:

Пример 5. В городе имеется одиннадцать различных коммерческих банков. Господин «N» открыл по одному счету в пяти различных банках. Позднее четыре банка из одиннадцати изменили ставки процентов по вкладам. Найти вероятность того, что по двум вкладам господина ставки остались неизменными.

Решение. Господин выбирал банки случайным образом. Испытание – выбор пяти банков из имеющихся одиннадцати. A – событие, состоящее в том, что по двум вкладам господина, из имеющихся пяти, ставки остались неизменными, и, следовательно, по трем другим изменились.

, где  - число всех исходов испытания (несовместимых, единственно возможных и равновозможных); - число исходов, связанных с наступлением события А (  - число вариантов выбора двух банков, из имеющихся семи, не изменивших ставки процентов,  - число вариантов выбора трех банков, из имеющихся четырех, изменивших ставки процентов).

Таким образом, .

X    0     1     2 3

Р 0,0179 0,2679 0,5357 0,1785.

Пример 3. Вероятностный прогноз для величины X — про­центного изменения стоимости акций по отношению к их те­кущему курсу в течение шести месяцев — дан в виде закона распределения:

X    5     10 15      20   25   30

Р     0,1  0,1 0,2     0,3  0,2  0,1.

Закон распределения дискретной случайной величины мож­но изобразить графически, соединив в прямоугольной системе координат ХО P точки (х _i,р _i) отрезками прямых. Так, на рис. 15.1 показан закон распределения из примера 3. Такая фигура называет ся многоугольником распределения.

Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом ис­пытании постоянна (см. раздел 14.5). В качестве дискретной случайной величины X рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что х₁ =0, х₂=1, х₃ =2,..., х_п+1=п. Вероятности этих возможных значений к даются фор­мулой Бернулли (см. формулу (14.16)):

    (15.2)

где q = 1 - р —     вероятность противоположного события (не по­явление события А в одном испытании). Формула (15.2) пред­ставляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины (числа появления события А в п незави­симых испытаниях), который называется биномиальным. Этот закон получил свое название потому, что правая часть в (15.2) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона (14.2). Таким образом, табличная форма биномиального закона с учетом формулы (15.2) имеет вид

Можно показать, что сумма всех вероятностей второй отро­ки этой таблицы равна единице, т.е.

Пример 4 Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата, кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить табли­цу закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.

Решение. Примем за А событие невозврата кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу 5 кредитов можно считать за 5 независимых событий. Вероятность невоз­врата к кредитов из 5 описывается биномиальным распределе­нием (15.2), где р = 0,2, q = 0,8, к принимает значения от нуля до 5. Искомая таблица закона распределения составляется, со­гласно (15.3), при n = 5:

X 5       4      3                  2            1               0

Р (0,2)⁵ 5(0,2)⁴0,8 10 (0,2)³(0,8)² 10(0,2)²(0,8)³ 5(0,2)(0,8)⁴ (0,8)⁵,

или окончательно:

X    5       4                 3         2         1          0

Р     0,00032  0,0064 0,0512 0,2048 0,4096   0,32768.

 

Распределение Пуассона

Пусть в каждом из п производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Как мы знаем, для определе­ния вероятности к появлений события А используется формула Бернулли (15.2); при больших п пользуются асимптотической формулой Лапласа (14.17). Однако эта формула плохо подхо­дит для случая, когда р мало. Для случая малых значений р и больших значений п используется асимптотическая формула Пуассона, эта формула выведена при важном допущении, что произведение пр является постоянной величиной, т.е. пр = λ. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно к раз, дается формулой, которая представляет собой закон распреде­ления Пуассона вероятностей массовых и редких (маловеро­ятных) событий.

 (15.4)

Пример 5. На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия.

Решение. По условию задачи п = 10 000, р = 0,0003, к = 4. Находим λ, а затем по формуле (15.4) и искомую вероятность:

 

λ = пр= 10000•0,0003 = 3,

Свойства дисперсии

Приведем здесь основные свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна, нулю:

D (C) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить на знак дисперсии, возводя его в квадрат:

   D (CX)  = C ² D (X). (15.12)

Свойство 3. Дисперсия алгебраической суммы независи­мых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X ₁ + X ₂ +... + X_n)= D (X ₁)+ D (X ₂)+... + D (X_n).            

Перечисленные свойства дисперсии используются при вы­числениях, когда мы имеем дело с несколькими случайны­ми величинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод:

D (X + С) = D (X), где С — постоянная величина. Кроме того, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 15.2. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

D (X) = пр(1 - р) = npq.   (15.14)

Приведем здесь еще два важных результата: для случай­ной величины, распределенной по закону Пуассона ( 15.4 (пр = λ)), ма­тематическое ожидание и дисперсия равны параметру данного распределения.

Пример 7. Найти дисперсию числа выигрышных лотерейных билетов, если вероятность выигрыша по одному билету равна 0,015, причем куплено 200 билетов.

Поскольку приобретение каждого билета яв­ляется независимым испытанием относительно появления со­бытия А — выпадения выигрыша, то здесь применимы теоре­ма 15.1 и формула (М(Х) = пр.        15.7). В нашем случае п = 200, р = 0,015, откуда мы получаем М (200) = 200 • 0,015 = 3.

Решение. Имеем 200 независимых испытаний с вероятно­стью появления выигрышного билета р = 0,015. Стало быть, q = 1 — 0,015 = 0,985, откуда и получаем искомую дисперсию:

D { X) = npq = 200 • 0,015 • 0,985 = 2,955.

Пример 8. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математи­ческое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании рав­на q = 1 —р. Пусть X — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формуле   

где X является случайной величиной с биномиальным зако­ном распределения. Тогда, согласно теореме 15.1, математическое ожидание прибыли определяется с использованием фор мулы (15.7):

М(П) = (1+г/100) SM (X) — nS =  (1 + r /100) Snp — Sn = Sn (rp /100 - q).

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная сред­няя величина прибыли), то из условия М( П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

г > 100 q / p, или г > 100(1 - р)/р.

Дисперсия прибыли банка находится, согласно теореме 15.2, с использованием формулы (15.14) и свойств 1-3:

Тема 1.1. Случайные события

1. Случайные события и их классификация.

2. Алгебраические действия над событиями.

3. Элементы комбинаторики.

4. Классическое и статистическое определения вероятности.

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

6. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

7. Предельные теоремы в схеме Бернулли (локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа).

 

Случайные события и их классификация.

Испытание – это комплекс условий появления какого-либо случайного явления.

Случайным событием называется такой исход испытания (опыта, эксперимента), который может произойти или не произойти.

События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, D,….

Частота события – отношение числа наступлений события к числу испытаний.

Вероятность события – мера объективной возможности появления события.

 

Классификация событий.

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате испытания; достоверное событие обозначается через .

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате испытания; невозможное событие обозначается через .

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании; в противном случае события называются совместными.

События A₁ , A_2, …. A_n  называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.

Два события называются независимыми, если вероятности их наступления не зависят от наступления других событий в данном испытании.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (то есть все события имеют равные «шансы»).

События A ₁, A ₂, _…, A_n образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

Противоположным событию  называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие .