Алгоритм поиска собственных векторов.

1. Вычислить определитель  и приравнять к нулю - получится характеристическое уравнение.

2. Решить характеристическое уравнение , найти все собственные числа. (Их будет не больше, чем n, так как уравнение порядка n, ведь по диагонали n элементов).

3. Подставить каждое конкретное  в характеристическую матрицу, и решить однородную систему . Таких шагов может быть n. Каждый раз надо изменить диагональ и заново решить систему. 

ФСР системы это и будет собственный вектор для того  .

 

Задача 100.. Найти собственные векторы для . 

Решение.  = . Далее, . Тогда уравнение . 

Рещим это уравнение: . Получим . 

Теперь подставим каждое  и решим системы уравнений.

 

:

, , система:  . Общее решение: , вектор .

:

, , система:  . Общее решение: , вектор .

Ответ. : вектор . : вектор .

Проверка:

,      .

Задача 101. Найти собственные числа и векторы линейного оператора, заданного матрицей: .

Решение. Сначала построим харакреристическое уравнение, то есть отнимем по главной диагонали, и приравняем этот определитель к нулю. . Вычислим определитель, чтобы свести всё к уравнению. . Характеристические корни , .

Теперь поочерёдно подставляем каждое конкретное из найденных , и формируем однородную систему.

  система:   

Здесь есть единственная информация: . Переменной  в системе нет, но это значит, что она может принимать любое значение, она не влияет на систему уравнений. Распространённая ошибка в данном случае - думать, что если коэффициенты при нулевые, то . На самом деле  является свободной неизвестной. Если вспомнить тему «ранг матрицы», то увидим, что базисный минор матрицы  это минор 1-го порядка, и расположен именно во втором столбце (любая клетка размера 1 на 1), где есть число. Невырожденного минора 2-го порядка здесь нет. Таким образом, 1-я переменная свободная, и пусть даже 2-я через неё здесь не выражена, а просто равна 0, но всё равно свободной переменной мы можем присвоить любое значение, например 1. Итак, ФСР в данном случае (1,0), и именно это и является собственным вектором. Проверка: .

Замечание. Любой вектор на этой прямой, то есть вида (с,0) тоже является собственным.

  система состоит из одного уравнения: . Ранг системы равен 1, а вот базисный минор можно выбрать как в 1-м так и во 2-м столбце, поэтому любую переменную можно считать свободной. Неважно, какую выразить через другую, всё равно одна и та же информация:

 или . Задавая одну, получаем вторую. Вектор (1,1).

Проверка: . Действительно, мы нашли такой вектор, который при умножении на эту матрицу становится больше в 3 раза.

Ответ.  вектор (1,0),   вектор (1,1). 

 

 

Задача 102. Найти собственные числа и векторы для матрицы .

Решение. .

. Корни , то есть  и 5.

Ищем собственный вектор для каждого из этих чисел.

 

система состоит из двух одинаковых уравнений

Одну переменную выразим через вторую . ФСР .

 

система состоит из пропорциональных уравнений

Одну переменную выразим через вторую . ФСР .

Ответ.   вектор ,  вектор (1,1).

 

Проверка. , .

Задача 103. Найти собственные числа и векторы для матрицы .  

Решение.   

Здесь хар. корень кратности 2: .

Ищем собственные векторы.

 

Однородная система состоит всего лишь из одного уравнения .

При этом формально  свободная переменная, так как базисный минор 1-го порядка во втором столбце, а 1-й столбец тогда не базисный. То есть  можно присваивать любое значение, например 1.

Итак, собственный вектор (1,0). Двух линейно-независимых собственных векторов для этого оператора нет.

Ответ. , собственный вектор (1,0).

Замечание. Вообще, количество собственных векторов меньше или равно кратности корня.

А если бы матрица изначально была  то система уравнений получилась бы только из уравнений вида 0 = 0, то есть обе переменные свободные, ФСР было бы (1,0) и (0,1) и тогда собственные векторы - вся плоскость.

Задача 104. Доказать, что линейный оператор  не имеет собственных векторов.

Решение. .

, действительных корней нет, то есть корни комплексные, они . 

Замечание. Если линейный оператор в 3-мерном пространстве, то характеристический многочлен 3 степени, и в том случае есть по крайней мере хотя бы один действительный корень.

 

Задача 105. Доказать, что для оператора поворота  в общем случае нет собственных векторов, и найти такие углы , при которых собственные векторы есть.  

Решение. , ,  , получили многочлен вида , где

. .

так как . Лишь для углов 0 и  получается D = 0, и тогда собственные векторы есть. При  матрица линейного оператора примет вид , тогда все векторы плоскости являются собственными, и соответствуют числу .

При  матрица , все векторы собственные, соответствуют .

Задача 106. Найти собственные числа и векторы .

Решение.  сводится к уравнению

, корни которого .

Найдём собственные векторы.

. Вычтем 2 по диагонали, получим систему уравнений

 то есть .

Из этих уравнений следует, что , про  нет информации, это свободная переменная. ФСР: вектор (1,0,0).

 

. Вычтем 3 по диагонали, получим систему уравнений

 то есть .

Из этих уравнений следует , ФСР: вектор (1,1,0).

Базисный минор здесь во 2 и 3 столбцах, так что  могло считаться свободной переменной.

 

. Вычтем 4 по диагонали, получим систему уравнений

 то есть .

Базисный минор можно найти, например, в левом верхнем углу, тогда  считаем свободной переменной и все остальные выразим именно через неё. Из 2-го , а затем из 1-го , то есть .

ФСР: вектор (1,1,1).

Ответ.

Собст. число  собст. вектор (1,0,0),  

собст. число   собст. вектор (1,1,0),

собст. число  собст. вектор (1,1,1).

 

 

Задача 107. Найти собственные числа и векторы   

Решение.

разложим по 2-й строке:

 =  что сводится к

, первый корень и так виден и равен 1, у второго выражения найдём корни, например, через дискриминант, получаем 1 и 2. Итак, , корни 1,1,2, они же собственные числа. Два характеристических корня совпали (1 это корень кратности 2). Теперь ищем собственные векторы.

.

, если в такой системе уравнений вычесть из 3-го уравнения утроенное 1-е, то 3-е обнулится, и в итоге ранг системы равен 1. То есть мы видим, что в случае корня кратности 2, ранг понизился сразу на 2 пункта, здесь будет 2 свободных неизвестных.

Итак, система из 1 уравнения с 3 неизвестными: .

Тогда , свободные переменные  поочерёдно принимают значение 1, ФСР из двух векторов: (1,0,2) (0,1,2).

 

. 

, при этом сразу замечаем, что из 2-го уравнения будет следовать , поэтому в остальных уравнениях его сразу не пишем. Однородная система:

Ещё два уравнения в ней пропорциональны, так что в итоге, у нас есть такое общее решение: . ФСР вектор (1,0,3).

Ответ. Кратный корень  два вектора: (1,0,2) (0,1,2),  

Корень  вектор (1,0,3).

Проверка. , , .

Задача 108.  Найти собственные числа и векторы

Решение. Найдём собственные числа с помощью характеристического уравнения.

 сводится к

Видно, что есть по крайней мере один корень .

Затем разделим многочлен  на , получим крадратичное уравнение и там найдём ещё 2 корня.

Итак, разделилось без остатка. Таким образом,

 = .

Для многочлена 2 степени: . Корни , т.е. 3 и 4.

Итак, собственные числа: , , .

Теперь ищем вектор для каждого из этих чисел.

Пусть . Составим однородную систему 

 здесь сразу видим, что 2 и 3 строка одинаковы, то есть 3-е уравнение копия 2-го, так что в системе фактически не 3, а 2 уравнения.

Запишем систему, заодно при этом поделив 1-е уравнение на 2.  

Из 1-го сразу , подставляя во 2-е, можно также и  выразить через : , т.е. . При этом  свободная переменная. Общее решение . ФСР это вектор (1,2,3).

 

Пусть теперь . Составим однородную систему:  

Из 1-го уравнения сразу очевидно .

Система:   Если учесть , то  так что очевидно, что и . ФСР (1,1,1).

 

Пусть теперь . Составим однородную систему:  

 Система:   

из 1-го уравнения , подставим эту информацию во 2-е и 3-е.

 значит . ФСР (2,1,1).

Ответ.  собственный вектор (1,2,3),

 собственный вектор (1,1,1),  

 собственный вектор (2,1,1).  

 

Практика № 12. 23.10.2020.

Задача 109. Найти собственные числа и векторы . 

Решение.  сводится к уравнению

, корни которого: .

.

, система    

откуда , ФСР это вектор .

.

, система    

откуда , ФСР это вектор .

 

.

, система    

откуда , а значит и ,  свободная переменная.

Тогда ФСР это вектор (1,0,0).

Ответ.

Собст. число  собст. вектор ,  

собст. число   собст. вектор ,

собст. число  собст. вектор (1,0,0).