Координаты вектора в новом базисе.

Любой вектор можно выразить не только как комбинацию базисных векторов, расположенных на осях, например (1,0) и (0,1), но и как комбинацию какой-то другой линейно-независимой системы.

 

Задача 72. Доказать, что векторы (1,1) и (1,0) образут базис, и найти координаты вектора (3,2) относительно этого базиса.

Решение.

Определитель матрицы перехода, составленной из этих векторов, отличен от 0: . 

Найти новые координаты можно так. Запишем их сначала как неизвестные в векторном равенстве:

  это очевидно, преобразуется к системе: .  , её решение: . 

Геометрический смысл: вместо того, чтобы 3 раза вправо и 2 раза вверх, можно добраться до точки (3,2) так: 2 раза по диагонали и 1 раз вправо.

Ответ. Новые координаты (2,1).

 

Задача 73. Доказать, что векторы (1,3) и (2,4) образут базис, и найти координаты вектора (1,5) относительно этого базиса.

Решение.

Вычислим определитель матрицы перехода. Если он не равен 0, то векторы образуют базис.

.

Составим векторное равенство:

, оно сводится к системе уравнений.

 . Можно решить её как методом Гаусса, так и матричным методом.

. Новые координаты .  

Проверка.

2 способ. Ранее мы находили обратную матрицу для

., .

Решить систему уравнений можно и матричным методом:

. 

Ответ. Новые координаты .  

Задача 74.  Даны 3 вектора: . Доказать, что они образуют базис в пространстве, и найти новые координаты вектора .

Решение. Вычисляя определитель, получим, что он отличен от 0.

 

. 

Затем ищем новые координаты вектора.

система:

Здесь удобнее сразу же вычесть 2-е уравнение из 3-го, и тогда из последнего определится .

.

Тогда из 1-го уравнения: , а тогда из 2-го .

Ответ. Координаты в новом базисе .

 

Домашняя задача. Доказать, что векторы (2,3) и  образут базис, и найти координаты вектора (1,0) относительно этого базиса.

Ответ. .

Задача 75. Доказать, что матрица  является ортогональной матрицей, и найти кооринаты вектора  в базисе, соответствующем этой матрице перехода.

Решение. Сумма квадратов элементов каждого столбца равняется , скалярное произведение различных столбцов 0. Поэтому матрица является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Такие матрицы отличаются важным свойством: обратная матрица совпадает с транспонированной. Поэтому для поиска новых координат умножим транспонированную матрицу на . 

Зелёным отмечены векторы старого базиса, красным - нового. При их суммировании мы как раз и попадаем в точку . 

Ответ. (1,1). 

Задача 76. Доказать, что матрица  является ортогональной. 

Решение.

Сумма квадратов элементов каждого столбца равна .

Скалярное произведение разных столбцов равно .

 

Практика  9

Элементы векторной алгебры.

Таблица свойств скалярного и векторного произведений.

Задача 77. Найти скалярное и векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3).

Решение. Скалярное . 

Векторное  =  = . 

Ответ.  Скалярное 6, векторное (1,-2,1).

Замечание. Можно проверить, что (1,-2,1) перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0).

Задача 78. Найти скалярное и векторное произведение векторов:

и .

Решение. .

Для поиска векторого произведения запишем определитель.

 =  = .

Ответ.  Скалярное: 16, векторное: (-13, -1, -8).

 

Задача 79. Найти косинус угла между векторами .    

Решение. , , ,

учитывая что , то .

Заметим, что , т.е. чуть меньше 1, угол близок к 0.

Ответ. .

Задача 80.  Найти косинус угла между векторами .    

Решение. , , ,

учитывая что , то .

Оценим приблизительно, какой это угол. Заметим, что если было бы  то было бы  и угол 60⁰.

В данном случае косинус чуть меньше, а значит угол чуть больше 60⁰.

Ответ. .

 

Задача 81.  Вывести формулу проекции вектора на ось .

Решение.     1) известно, что .

2) длина проекции  это катет,   гипотенуза треугольника, тогда получается, что .

Сопоставим эти 2 факта. , тогда , откуда и следует . 

 

Задача 82.  Найти проекцию вектора  на линию, порождаемую вектором .

Решение. По формуле  =  =  =  = . Кстати, длина самого вектора  равна , соотв-но длина проекции чуть меньше.

Ответ. .

 

 

Задача 83.

Доказать неравенство Коши-Буняковского: .

Решение. Рассмотрим скалярное произведение . Так как здесь умножается один и тот же вектор на себя, то оно неотрицательно: . По свойствам скалярного произведения, раскроем скобки:

А теперь рассмотрим это выражение как неравенство с квадратичным трёхчленом относительно переменной . Для каждых конкретных векторов  то это неравенство приобретает вид: , где , . Если выражение больше ири равно 0, то значит, для самого квадратичного уравнения нет корней или всего 1 корень, но не 2 корня. То есть, дискриминант меньше или равен 0. Тогда  = , тогда

.

Извлечём корень и получим .

 

Задачи 84 и 85.  Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 60 градусов.

№ 84. Найти .             № 85. Найти | [a,b] |.

Решение № 84.  =  =  

Так как  для скалярного произведения, то получаем

 =  =

 = 8+3+1 = 12.

Ответ. 12.

Решение № 85. | [a,b] | =   раскрытие скобок идёт так же, как и для скалярного произведения, но затем будут применяться другие свойества. Так, при смене мест надо будет поменять знак, а векторное произведение двух одинаковых векторов равно 0, а не квадрату модуля.

 =  =  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 86. Дано: , , , , угол между векторами  45 градусов. Найти  и .

Решение.  =  = .

Примечание. Как видим, можно вычислять скалярное произведение, даже не зная координат векторов. Здесь фактически  служат в качестве базисных векторов, и через них выражены , то есть (1,1) и (2,1) координаты  относительно базиса . Вся эта система целиком может двигаться или вращаться, но углы между векторами и их длины при этом не поменяются. Поэтому конкретных координат и нет, и они для решения задачи и не нужны.

Пункт Б.  =  =  =

 = = .

Ответ.  и .

 

Задачи 87,88,89. Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 град.

Задача 87. Найти .          

Задача 88. Найти | [a,b] |. 

Задача 89.  Найти  .

Решение задачи 87.

 =  = .

Мы раскрыли скобки, используя свойства скалярного произведения. Далее, так как  то объединим их, и получим .

Это можно выразить так:

и получаем .

Ответ. 29. 

Решение задачи 88.

= =  

Несмотря на то, что скобки мы раскрыли похожим образом, дальше будет существенное отличие, т.к. свойства векторного произведения совсем другие, чем скалярного. Так, , но . Кроме того, чтобы объединить  в одно слагаемое, здесь надо сначала у одной из них сменить знак.

 =  =

 = . Модуль векторного произведения и  это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так:

 =  =  = 50.    Ответ. 50.

Решение задачи 89.

 =  =  = =

 =  =

 = = 257. Ответ.   257.

Практика № 10.   

Задача 90. Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен .    

Решение.

Площадь параллелограмма - значит, надо вычислить модуль векторного произведения = =   =

 =  =  =  =

 = 92.       

Ответ 92.

 

Задачи 91 и 92. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰.

Задача 91. Найти .   

Решение.  = =  =  =  =

 =  = 1227.

Ответ. 1227.

Задача 92. Найти | [a,b] |. 

Решение.

 | [a,b] | = | |= | | = | | = | | =  =

 = .

Ответ. .

 

Задача 93. Найти смешанное произведение трёх векторов: 

.

Решение.  Вычислим определитель:

 =  = 25. Ответ. .

Задача 94.  Доказать, что 4 точки: A(1,1,1), B(2,3,1), C(2,4,2), D(3,6,2) 

лежат в одной плоскости. 

Решение. Составим 3 вектора AB, AC, AD и докажем, что они лежат в одной плоскости.

AB = (1,2,0), AC = (1,3,1), AD = (2,5,1). 

Определитель  = 0 так как 3 строка есть сумма 1-й и 2-й.

Ответ. 4 точки в одной плоскости.

Задача 95. Найти объём тетраэдра, вершины которого

A(1,1,1), B(2,1,3), C(2,2,4), D(1,2,4). 

Решение. Объём тетраэдра ровно в 6 раз меньше объёма параллелепипеда с рёбрами AB, AC, AD.

Найдём эти векторы, и сначала вычислим объём параллелепипеда с помощью определителя, затем поделим на 6.

AB = (1,0,2), AC = (0,1,3), AD = (1,1,3).

 = , .

Ответ. Объём тетраэдра равен .

 

Линейные операторы

Задача 96. Построить матрицу линейного оператора в 2-мерном пространстве, если действие оператора задано таким образом: .

Решение. Находим, в какие векторы отображаются два базисных вектора: , .

Эти результаты запишем по столбцам: .

Ответ. Матрица линейного оператора .

Проверка: . То есть действительно, вычисление координат образа вектора по данным формулам даёт точно такой же результат, как и с помощью умножения на матрицу.

Так,   но ведь и по исходным формулам  получилось бы то же самое: .

 

Задача 97. Построить матрицу линейного оператора в 3-мерном пространстве

Решение. Отобразим базис 3-мерного пространства.

Ответ. Матрица линейного оператора .

 

Задача 98. Построить матрицу оператора поворота на произвольный угол .

Решение. Найдём матрицу оператора поворота на угол .

Расстояния r1 и r2 здесь равны  и . Красным показаны образы базисных векторов. Получаем матрицу .

Ответ.

При   получится  Действие оператора на любой вектор задаётся матрицей так:  - любой вектор поворачивается на 90 градусов.

При  матрица , и действительно, умножение на такую матрицу переводит любой вектор  в .

 

 

Задача 99.   С помощью линейного оператора поворота плоскости доказать, что скалярное произведение не изменяется при повороте.

Решение. Рассмотрим векторы  и . Их скалярное произведение равно . теперь отобразим каждый из этих векторов с помощью линейного оператора поворота на угол .

 =  

 =  

А теперь скалярно перемножим 2 получившихся вектора: 

и .

=

 +

 

Учитывая, что 3,4,7,8 слагаемые взаимоуничтожаются, получим:

 = .

Ответ:  Что и требовалось доказать. 

 

Практика 11 (21.10.2020).