Линейная зависимость, линейная независимость, ранг матрицы.

Задача 29. Доказать, что третий столбец матрицы является линейной комбинацией первых двух, и найти коэффициенты этой комбинации.

Решение.  Во-первых, если вычислить определитель и обнаружить, что он равен 0, то этим самым уже доказана линейная зависимость столбцов. Однако требуется найти коэффициенты, поэтому запишем систему уравнений: 

 

Прибавим удвоенное 1-е уравнение ко 2-му, и вычтем утроенное 1-е из 3-го.

 отсюда видно, что , тогда .

Ответ. коэффициенты линейной комбинации равны 1 и 2.   

Задача 30. Найти ранг матрицы .

Решение. Здесь есть невырожденный минор порядка 1, это любой ненулевой элемент. Также есть минор порядка 2,  например  

.

Чтобы выяснить, равен ранг 2 или 3, надо перейти к рассмотрению миноров 3 порядка, причём их можно рассматривать не все, а достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.

поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден. Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, . Цветом закрашен базисный минор.

Ответ. .

 

Задача 31. Найти ранг матрицы

Решение. Из 2-й строки вычесть 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.

теперь из 3-й строки вычтем 2-ю . 

Ниже главной диагонали получились нули.

Теперь лучше видно базисный минор порядка 3. Ранг = 3. Если бы оказалось, что последняя строка состоит из нулей, то тогда был бы ответ ранг матрицы = 2.

Ответ. .

Задача 32. Найти ранг матрицы. .

Решение.

Метод 1. Выбираем окаймляющие миноры, начиная от левого верхнего угла. Видно, что минор 2 порядка не равен 0, поэтому ранг больше или равен 2. .

Вычисляя минор 3 порядка (а он здесь единственный, это и есть сам определитель матрицы) видим, что он равен 0.

. Тогда ранг не равен 3.

, но при этом . Остаётся единственный вариант: .

Метод 2. Преобразуем матрицу к треугольному виду.

Вычитаем из 2-й строки 1-ю, и из 3-й удвоенную 1-ю.

Теперь 2-ю строку, умноженную на 0,5, прибавим к 3-й.

Теперь видно, что 3-я строка состоит из нулей, поэтому ранг не может быть равен 3. Минор 2-го порядка тоже сразу виден, это .

Ответ. . 

 

Задача 33. Найти ранг матрицы .

Решение.  Вычтем из 2-й строки 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.

 теперь из 3-й вторую: .

Во-первых, сразу видно, что есть угловой минор порядка 2, отличный от нуля. Ближайший окаймляющий для него содержит столбец из нулей, однако это ещё не значит, что ранг не может быть равен 3. Если рассмотреть другой окаймляющий минор, а именно, состоящий из 1,2 и 4 столбцов, то увидим, что ранг равен 3.

Ответ. .

Задача 34. Найти ранг матрицы .

Решение.

Теперь 2-ю строку, домноженную на 10, прибавим к 3-й.

.

Итак, исходная матрица сводится к такой, в которой уже есть треугольная структура в первых трёх столбцах.  

Очевидно, что обведённый минор равен 46, не равен 0. Он 3-го порядка, поэтому ранг равен 3.

Ответ. .

Задача 35. Найти ранг матрицы и базисный минор. .

Решение. Преобразуем матрицу:   

Сначала из 2 строки вычитаем 1-ю, домноженную на 2, то есть вычитаем строку (2 4 6) а из 3-й 1-ю, домноженную на 5, т.е. строку (5 10 15). Затем к 3-й прибавляем 2-ю с коэффициентом 7.

Видно, что базисный минор не может быть в левом верхнем углу, потому что во 2-й строке два нуля. Зато можно найти минор 2 порядка, состоящий из частей 10и 3 столбца, либо 2 и 3-го.

 

Минор порядка 3, то есть сам определитель всей этой матрицы, равен 0, так как третий столбец содержит только нули. Поэтому ранг равен 2, а не 3. Ответ. . 

Практики 5 (до № 46) и 6 (до № 57).

(неделя с 28 сентября по 4 октября).

Задача 36. Найти ранг матрицы .

Решение. Преобразуем матрицу. Ко второй строке прибавим 1-ю, а от 3-й отнимем удвоенную 1-ю.  

теперь к третьей прибавим вторую, получим  .

Ранг равен 3, так как есть невырожденный минор 3 порядка.

Ответ. . 

Задача 36-А (вариант прошлой задачи, но с параметром).

Найти параметр , при котором ранг матрицы равен 2:

Решение.

Третья строка состояла бы из всех нулей, только если , то есть .     Ответ. .

 

Задача 37. Найти ранг матрицы .

Решение. Преобразуем методом Гаусса к треугольной форме.

 

.

Видно, что 4-я строка из нулей, поэтому ранг не равен 4, то есть . Минор порядка 2 легко находится в верхнем левом углу, но угловой минор порядка 3 равен 0. Однако это ещё не значит, что ранг равен 2, ведь можно отступить к правому краю матрицы и взять минор с разрывом, из 1,2,4 столбцов, например такой:

Этот минор невырожденный, и он тоже является окаймляющим (ведь он полностью включает в себя квадрат, закрашенный жёлтым). Мы нашли базисный минор порядка 3. Также можно было рассматривать аналогичное в 1,2,5 столбцах, тоже минор порядка 3.

Ответ. . 

Задача 38. Найти такие параметры , что ранг матрицы равен 1: 

Решение. Вычтем из 2-го столбца удвоенный 1-й. Затем из 3-го утроенный 1-й.

Если  и , то последний столбец состоит только из нулей, и ранг будет равен 1. Ответ. , .

Задача 39.  Найти ранг матрицы.

Решение. Для удобства преобразования методом Гаусса, сначала поменяем местами 1 и 3 строки. Ещё можно сразу прибавить 3-ю строку к 4-й.

Дальше стандартным методом, обнулим всё ниже угла.

Для удобства вычислений домножим 2 строку на (-1), ранг при этом не меняется. Затем прибавим к 3 строке удвоенную 2-ю.

   

Теперь осталось прибавить к 4 строке удвоенную 3-ю.

. Видно, что получилась треугольная матрица, то есть определитель 4 порядка невырожденный. Поэтому .

Ответ. . 

Задача 39-А.  Найти  значение параметра , при котором ранг матрицы был бы равен 3.

 

Решение. Выполняя преобразования, аналогичные тем, что в прошлой задаче, получим

    . Только в том случае, когда , последняя строка состоит из нулей, и ранг равен 3, а не 4.   Ответ. .

 

Задача 40. Найти , при котором ранг равен 2.

А)   Б)   

Решение. Пункт А). 

 

Из 2-й строки вычли удвоенную 1-ю, из 3-й 4-кратную 1-ю.

Затем домножили 3-ю на 4, чтобы стало кратное число (20).

Затем из 3-й отняли 5-кратную 2-ю.

Видим, что независимо от  и от последнего столбца, есть невырожденный минор в первых 3 столбцах. Поэтому ни при каком  ранг не будет 2.

Б) Если нет 3-го столбца (по сравнению с прошлым пунктом), то удастся найти .

Последняя строка состоит из нулей при , т.е. . 

Ответ. А) не существует Б) . 

Обратная матрица.

Формула вычисления элементов обратной матрицы: .

Алгоритм нахождения .

1. Проверить невырожденность с помощью определителя.

2. Составить матрицу из дополняющих миноров M_ij.

3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)^i+j, где i,j - номера строки и столбца.

4. Транспонировать полученную матрицу.

5. Поделить на определитель исходной матрицы.

Задача 41.  Найти .  

Решение. . Вывод: , существует обратная матрица.

Матрица из миноров: .

Матрица из алг. дополнений: .

Транспонируем её: .

Делим её на определитель, и записываем ответ: = . 

Ответ. = .

Можно сделать проверку: = .

Задача 42. Найти обратную матрицу для .

Решение. 1). Проверяем определитель , так что обратная матрица существует.

2) Составляем матрицу из дополняющих миноров, то есть для каждой клетки вычёркиваем строку и столбец, остаётся подматрица порядка 1, то есть то число, которое напротив, как раз и является дополняющим минором. Получаем .

3) В шахматном порядке меняем знак там, где i+j нечётное.

Тем самым, мы переходим от  к . Получили .

4) Транспонируем эту матрицу. . 

5) Определитель был равен 1. Делить на 1 не обязательно, можно автоматически считать, что уже и так разделили.
Ответ. .

Проверка:  =  = .

 

 

Задача 43 (теор). Доказать, что не существует различных матриц «обратной слева» и «обратной справа», т.е. они совпадают. Т.е. Если  и , то .  

Решение.    Пусть  и .

 

По закону ассоциативности, можно записать такое равенство: . Но тогда получается , то есть .

 

Задача 44. Найти обратную матрицу .

Решение. Сначала ищем определитель. Так как матрица треугольная, то достаточно перемножить числа по диагонали. .

Строим матрицу, состоящую из дополняющих миноров.

Зачёркиваем ту строку и тот столбец, где находится элемент, и остаётся минор 2 порядка из 4 элементов.

На схеме показано, что именно надо зачеркнуть:

=  = .

Теперь надо сменить знаки в шахматном порядке, т.е. переходим от миноров к алгебраическим дополнениям. Обведено красным, где надо менять знак. Ясно, что 0 остаётся 0, там знак менять нет смысла.

Получили: = .

Транспонируем эту матрицу, то есть бывшие строки запишем по столбцам.

= . И осталось разделить на .

Ответ. .

Задача 45. Найти обратную матрицу .   

Решение. Найдём определитель

.

Найдём матрицу из дополняющих миноров к каждой из 9 клеток.

=  = .

Меняем знаки в шахматном порядке, то есть там, где i+j нечётное.

= .  

Затем транспонируем эту матрицу.

= . Осталось только разделить на .

Ответ. .

 

Задача 46. Найти обратную матрицу .

Решение. Сначала вычислим определитель: .

=  = .

= , = .

Исходный определитель был равен 1, так что делить не нужно.

Ответ. .

 

Практика 6.

Задача 47. Найти обратную матрицу .

Решение. Сначала находим определитель.

.

Найдём матрицу из дополняющих миноров.

=  = .

Меняем знаки в шахматном порядке, там, где i+j нечётное.

= .  

Затем транспонируем эту матрицу.

= . Затем делим на .

Ответ.  = .

Задача 48. Матричным методом решить систему уравнений:  

Решение. Запишем систему в виде: .

Обратите внимение, что основная матрица системы это та самая матрица, для которой мы нашли обратную в прошлой задаче.

Если у нас есть равенство , то , тогда .

 =  = .

Ответ. =1, =1, =0.

 

Матричные уравнения. Пусть А - квадратная матрица ,   - матрицы размера  (чаще всего в таких задачах , то есть все рассматриваемые матрицы квадратные), причём  - неизвестная матрица. Тогда определено умножение . Матрицу  ищут таким образом. Домножим всё равенство слева на обратную матрицу : . Тогда , то есть .

 

Задача 49. Решить матричное уравнение , где .

Решение. Требуетсянайти   , заметим, что матрица А тут в точности такая, для которой мы искали обратную ранее в начале параграфа. Так, можно использовать .

 =  = .

Ответ. . Проверка. = .

Задача 50. Решить матричное уравнение .

Решение.   

Тогда  =  = .

Ответ. .

 

Задача 51. Найти обратную матрицу .  

Решение.  = .

= = ,

меняем знаки в шахматном порядке: , транспонируем матрицу и делим на определитель:

Ответ. .

Задача 52. Найти обратную матрицу .  

Решение.

Матрица треугольная, сразу видно, что определитель равен 2.

= =

переходим к алгебраическим дополнениям:  

транспонируем матрицу:  

делим на 2: .   Ответ. .

Задача домашняя. Найти обратную матрицу .  

Ответ. .

 

 

Системы линейных уравнений

Матричный метод.

, или . Слева домножим обратную матрицу:

, то есть , то есть . Получается, что все  можно найти так: умножить обратную матрицу на правую часть.

Метод Крамера.

Пусть А - основная матрица системы линейных уравнений. Если удалить какой-либо i-й столбец основной матрицы и внести на это место правую часть, то получится некая новая квадратная матрица, обозначим её . Тогда верны следующие формулы для .  для каждого i от 1 до n.