Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальное уравнение теплопроводности. Условия однозначности для процессов теплопроводности.
Дифференциальное уравнение теплопроводности: Решение задач теплопроводности связано с определением поля температур и тепловых потоков. Для установления зависимости между величинами, характеризующими явление теплопроводности, воспользуемся методом математической физики, который рассматривает протекание физических процессов в произвольно выделенном из всего рассматриваемого пространства элементарном объеме и в течение бесконечно малого промежутка времени. Это позволяет пренебречь изменением некоторых величин и существенно упростить выкладки. При выводе дифференциального уравнения теплопроводности считаем, что тело однородно и изотропно (то есть физические свойства тела не зависят от выбранного в нём направления), физические параметры λ, с (теплоемкость), и ρ (плотность) постоянны, внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле. Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, или при прохождении тока в электрических проводниках. Внутренние источники теплоты характеризуются величиной qv — количеством теплоты, которое выделяется в единице объема в единицу времени. В основу вывода положен закон сохранения энергии, согласно которому вся теплота, выделенная внутренними источниками dQВНУТР. и внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводности Dq ТЕПЛ... за время dτ, идет на изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме: dQВНУТР. + dQТЕПЛ. = dU. Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 9.1). Количество теплоты, которое проходит путем теплопроводности внутрь выделенного объема в направлении оси ОX через элементарную площадку dy·dz за время dτ: dQx 1 = qx * dy * dz * d = -λ* * dy * dz * d . На противоположной грани параллелепипеда температура получит приращение * dx и будет составлять t + * dx. Количество тепла, отведенного через эту грань: dQx 2 = -λ* (t + * dx) * dy * dz * d . Разница количества теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него, представляет собой теплоту, внесенную путем теплопроводности в направлении оси ОX: dQ X = dQX 1 – dQX 2 = λ* dx * dy * dz * d . Аналогично: dQ Y = dQY 1 – dQY 2 = λ* dx * dy * dz * d
Полное количество теплоты внесено в элементарный параллелепипед путем теплопроводности: dQm = dQX + dQY + dQZ = λ* * dx * dy * dz * d Здесь произведение dx·dy·dz представляет собой объем элементарного параллелепипеда dv. Количество теплоты, которое выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников: dQ ВНУТ. = q ν * dν * dτ. Приращение внутренней энергии можно выразить через массу параллелепипеда ρ·dv, теплоемкость с и приращение температуры : dU = c *ρ* dv* Подставляя выражения для dQm, dQВНУТ. и dU в уравнение, после соответствующих сокращений получаем: с*ρ* = λ* + q ν. Сумма вторых частных производных любой функции в математическом анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом: = Ñ 2 t. Величину λ/(ρ* c) называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой a. В указанных обозначениях уравнение примет вид: = a * Ñ 2 t + q ν /(ρ* c). Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества. Из уравнения следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. Краевые условии(Условия однозначности): Дифференциальное уравнение описывает в самом общем виде все без исключения задачи теплопроводности. Для решения конкретной задачи необходимо к дифференциальному уравнению присоединить математическое описание частных ее особенностей. Эти дополнительные данные, которые характеризуют конкретное единичное явление, называются краевыми условиями, или условиями однозначности. Существуют различные условия однозначности: геометрические — характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс теплопроводности; физические — характеризующие физические свойства тела; временные — характеризующие распределение температуры тела в начальный момент времени; граничные — характеризующие взаимодействие тела с окружающей средой. Граничные условия в свою очередь бывают трех родов: 1) первого рода, задается распределение температуры на поверхности тела в функции времени; 2) второго рода, задается плотность теплового потока для всей поверхности тела в функции времени; 3) третьего рода, задаются температура окружающей среды tЖ и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой — закон Ньютона—Рихмана: d2 Qτ = α*(tC – t Ж)*dF*dτ, где tС — температура поверхности тела; α — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2·К). Коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому или воспринимаемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. Этот коэффициент учитывает все особенности явлении теплообмена, происходящие между поверхностью тела и окружающей средой. Плотность теплового потока, передаваемого от поверхности тела в окружающую среду, q = d2 Qτ /(dF * dτ) = α*(tC – t Ж). Согласно закону сохранения энергии, эта теплота равна теплоте, подводимой к поверхности изнутри тела путем теплопроводности: α*(tC – t Ж) = -λ*( ) C. Переписав последнее уравнение в виде: ( ) C = - (α/λ)* (tC – t Ж), получаем математическую формулировку граничных условий третьего рода. В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепловые потоки.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-10-24; просмотров: 169; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.120.133 (0.004 с.) |