Скалярное произведение векторов и его свойства.

Под углом фи - между векторами а и b будем понимать наименьший угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало; тогда 0<=фи<=пи Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен. Скалярным произведением (обозначается символами (a, b) или а * b) двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(a,b)= |a|*|b| cos ȹ

Если хотя бы один из векторов нулевой, то по определению считается, что скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение ненулевых векторов представим в виде:

(a,b)=|a|пр_ab=|b|пр_ba

- проекции одного из векторов на направление второго вектора.

Скалярное произведение обладает следующими алгебраическими свойствами:

(a,b)=(b,a)

(α a,b)=α(a,b) (a, βb)=β(a,b) (αa,βb)=(αβ)(a,b)

(a,b+c)=(a,b)+(a,c)

Первое из них означает, что скалярное произведение коммутативно (перестановочно). Равенства предпосл означают ассоциативность (сочетательность) скалярного произведения относительно умножения на числа. Скалярное произведение дистрибутивно (распределительно) относительно операции сложения векторов, что выражается последним равенством.

Условие (a,b)=0 есть условие ортогональности (перпендикулярности) векторов. Длина вектора а представляется в виде

|a|=

где а^2=(а,а), что принято называть скалярным квадратом вектора а.

 

21.Выражение скалярного произведения векторов через их координаты.

Скалярное произведение следующим образом выражается через координаты перемножаемых векторов:

Длина вектора через его координаты выражается по формулам

|MM₁|=

Расстояние p (А,В) между точками А и В, заданными своими координатами, находится по следующим формулам:

d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²)

Тогда из посл на основании 1й и 2й тройки ур-й получаем соответственно в R^1, R^2, R^3 формулы для нахождения косинуса угла между векторами, заданными своими координатами:

 

Из (а,b)=0 и 1й тройки ур-й следуют условия перпендикулярности двух векторов в координатной форме:

.

Обозначим углы, образуемые вектором а=(X,Y,Z) с осями Ox,Oy,Oz, соответственно фи1, фи2, фи3. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора а и выражаются:

.

Прямая линия на плоскости.

Уравнением данной кривой (линии) на плоскости в выбранной системе коорди-

нат Oxy называется такое уравнение

F(x, y) =0,                                                                                          

которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки, и не удовлетворяют коор-

динаты ни одной точки, не лежащей на ней.

Основным предметом аналитической геометрии на плоскости является изучение

так называемых алгебраических линий, т.е. линий, которые определяются алгебраи-

ческим уравнением некоторой степени

Уравнение называется общим алгебраическим уравнением первой степени,

при это исключаются одновременное обращение в нуль коэффициентов A и B. Урав-

нение называется общим алгебраическим уравнением второй степени. Чтобы

уравнение содержало члены второй степени, надо предполагать, что хотя бы один

из коэффициентов A, B, C при членах второй степени был отличен от нуля.