Точка C находится вне окружности,

2) она лежит внутри окружности. При первом предположении и условии ∠ A > 90 ° стороны BC и DC пересекают окружность вторично в своих внутренних точках E и F. Тогда для вписанного четырехугольника ABED по необходимому условию будет ∠ A+ ∠ BED=180 °. По теореме о внешнем угле треугольника ∠ BED > ∠ C и потому ∠ A+ ∠ C < 180 °, что противоречит условию. Второе предположение аналогично приводит к  противоречию ∠ A + ∠ C > 180 °. Доказательство закончено.

Доказательство:

1) Проведем окружность через три вершины четырехугольника A, B, D и докажем, что она проходит также через вершину С. Пусть это не так. Тогда вершина С лежит либо вне круга, либо внутри круга. Пусть точка С лежит вне круга. Тогда  

 

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать вне окружности.

Пусть точка С лежит внутри круга.

F

E

B

A

C

D

Тогда   

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать внутри окружности.

Вывод: Чтобы выполнялось условие теоремы, точка С должна лежать только на окружности, а четырехугольник ABCD должен быть вписанным в окружность.

3. Задача по теме «Теорема синусов».

Билет № 15

1. Определение средней линии треугольника и трапеции. Доказательство теорем о средней линии треугольника и трапеции.

Определение 1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна его половине.

Р

D

N

C

B

M

А

Дано: D ABC; MN, ND, MD – средние линии.

Доказать: MN II AC;      

Доказательство:

1. Продолжим MN за точку N и на продолжении отложим PN = MN.

Рассмотрим D MBN и D NPC.

  BN = NC (по определению средней линии); MN = NP (по построению); Ð MN В = Ð PNC (вертикальные); Þ D M В N = D NPC (по 1 признаку) Þ Ð BMN = Ð NPC (внутренние накрест лежащие) Þ АВ II PC.

3. CP = MB (из равенства треугольников);

AM = MB (по определению средней линии); Þ CP = А M.

5. А M II PC; AM = PC Þ AMPC – параллелограмм Þ AC = MP; AC II MP.

6. MP = 2 MN (по построению) Þ MN = 0,5 AC.

7. AC II MP; MN Ì MP; Þ MN II AC.

Определение 2. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойство средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

E

D

N

C

B

M

А

Дано: ABCD – трапеция; AD II BC; MN – средняя линия.

Доказать: MN II AD; MN II B С;      

Доказательство:

Рассмотрим D N ВС и D NDE. С N = ND (по условию); Ð В N С = Ð END (вертикальные);

Ð B С N = Ð NDE (внутренние накрест лежащие при BC II AD и секущей CD); D N ВС и D NDE (по 2 признаку) Þ BN = NE; BC = DE. Рассмотрим D A В E. MN – средняя линия MN II AD; MN =0,5 AE.

AE = AD + DE = AD + BC Þ

2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него.

Чтобы построить вписанную окружность, достаточно: