Определение вектора, его длины. Равные и противоположные векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

                                          Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно   указать два направления: от                                                                                                      одного конца к другому и наоборот.

       Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем началом, а другой – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

        ®                               

                В

                 Конец вектора

А                                                         Вектором, или направленным отрезком,   

Начало вектора                  называется отрезок вместе с его направлением.

 

       На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например . Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец. Векторы часто обозначают и одной латинской буквой со стрелкой над ней:  

       Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, а на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить . Нулевой вектор обозначается символом .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора () обозначается так: . Длина нулевого вектора считается равной нулю: .

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

 

       · М                                       A           

                                     B                   F

                                  

                      ·                         D        E

                                C

               

       Векторы   (вектор нулевой) коллинеарные, а векторы , а также  не коллинеарны.

       Если два ненулевых вектора  и коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы  и  называются сонаправленными, а во втором – противоположно направленными.

       Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными (противоположно направленными) если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, проходящей через начала. 

       Если векторы  и сонаправлены, то пишут: ­­ , а если они противоположно направлены, пишут: ­¯ .

       Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Ненулевые коллинеарные векторы обладают следующими свойствами:

                                                                                  

                                                                                    

                                                                           

                     

                                            

       

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Пусть - два вектора. Отметим произвольную

            B                    точку А и отложим от этой точки вектор ,

                                           равный . Затем от точки В отложим вектор , равный .

    A                C           

 Вектор  называется суммой векторов . Сумма векторов   и   обозначается так:

Суммой векторов  называется вектор , началом которого является начало вектора , конечной точкой будет конец вектора , отложенного от конца вектора .

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Cправедливо равенство .

Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В и С – произвольные точки, то . Это равенство справедливо для произвольных точек А, В и С, в частности, в том случаае, когда две из них или все три совпадают.

Рассмотрим свойства сложения векторов.

Теорема. Для любых векторов ,   и   справедливы равенства:

1.  + = +   (переместительное свойство)

2. (  + ) +  = + (  + ) (сочетательное свойство)

Доказательство.

1. Рассмотрим случай, когда векторы   не коллинеарны.

B         C              От произвольной точки А отложим векторы

                                                    и на этих векторах построим

                                         параллелограмм ABCD. По правилу треугольника

                            . Аналогично

                                      . Отсюда следует, что  

А             D             + = +

          

           B           C                       2. От произвольной точки А отложим

                                                      вектор , от точки В – вектор ,

                                              а от точки С – вектор .

                                                      Применяя правило треугольника, получим:

        A                       D

 

       (  + ) +  =

       + (  + ) =

       Þ (  + ) +  = + (  + ).

       При доказательстве свойства 1 мы обосновали так называемое правилопараллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы и  и построить параллелограмм ABCD. Тогда вектор  равен  + . Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил.

       Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

                                                        Правило построения суммы нескольких

                                                     векторов называется правилом много -

                                                             угольника.

                                                                       Правило многоугольника можно           

                                                                 сформулировать также следующим

                                                                   образом: если А₁, А₂, …, А_n  -

                                                             произвольные точки плоскости, то

                      .

                                                                           Это равенство справедливо для

любых точек А₁, А₂, …, А_n,   в частности, в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если начало первого совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

             

                                              + + + + =

   

                                    

       

Разностью векторов  и называется такой вектор, сумма которого с вектором  равна вектору .

       Разность векторов и  обозначается так: - .

       Рассмотрим задачу о построении разности двух векторов.

       Задача. Даны векторы и . Построить вектор - .

       Решение.

             А                         Отметим на плоскости произвольную точку О и

                                              отложим от этой точки векторы и .

               -                     По правилу треугольника , или

                                           . Таким образом, сумма векторов и  равна вектору

  О              В              

        По определению разности векторов это означает, что , т.е. вектор  искомый.

       Введем понятие вектора, противоположного данному.

           В                                   Пусть - произвольный ненулевой вектор.

                            Вектор называется противоположным вектору , если векторы  и                         имеют равные длины и противоположно направлены

                                                            .

       

Вектор  является противоположным вектору . Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.

       Вектор, противоположный вектору , обозначается так: - .

Очевидно,  + (- ) = .

       Теорема. Для любых векторов и справедливо равенство - = + (- ).

       Доказательство. По определению разности векторов ( - ) +  = . Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (- ), получим:       

( - ) + + (- ) = + (- ), или ( - ) +  = + (- ), откуда - = + (- ).

Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки вектор

                                     . Затем от точки А отложим вектор  По теореме о

                -                        

разности векторов - = + (- ), поэтому - =  т.е. вектор искомый.

                                                    Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы  и сонаправлены при k ³ 0 и противоположно направлены при k < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

       Произведение вектора  на число k обозначается так: k .

 

 

k × = , если:

                                                                                                3                                                                              

                                                                                   

                                                                                              - 2

                                                                                     

      

Из определения произведения вектора на число следует, что:

1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2) для любого числа k и любого вектора  векторы   и k  коллинеарны.

 

Следствия из определения: 1. × 0 = 0; 2. Для любого числа k и любого вектора  векторы   и k  коллинеарные.

 

           

 

           

Основные свойства умножения вектора на число: 1. (k l)  = k × (l ) (сочетательный закон) 2. (k + l)  = k   + l  (первый распределительный закон) 3. k (  + ) = k  + k  (второй распределительный закон)

       Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами: для любых чисел k, l и любых векторов ,  справедливы равенства:

 

 

 

      

Доказательство. Если k ¹ 0, l ¹ 0,  ¹ , то оба вектора (k l)  и k (l ) имеют одну и ту же длину, равную , и одно и то же направление. Это направление такое же, как и у , если k и l одного знака, и противоположно , если k и l разного знака.

       2)                                                           

 

           О k           А l В  

      

       Если сумма k + l > 0, то векторы (k + l)  и k   + l  будут сонаправлены с вектором  и иметь одинаковые длины:

  (k + l)  = k   + l .

       Если (k + l) < 0, то (-k – l) > 0 и, по доказанному, (-k - l)  = - (k   + l ).

Откуда умножением на (-1) получаем (k + l)  = k   + l .

                            А                       

   3)   А₁                                                                   

                                                    

 

       О + В₁       В              

 

  D ОАВ ~ D ОА₁В₁ с коэффициентом подобия k, поэтому . С другой стороны,  Таким образом, k(  + ) = k  + k .