Построение теоретической кривой

По виду полигона можно предположить, что распределение плотности вероятности значений величины радиального биения подчиняется закону Релея.

Выравнивание экспериментальной кривой распределения предусматривает определение вероятности p_i отдельных значений x_i случайной величины Х или их частот на основании предварительно принятого (условного) теоретического закона распределения, параметры которого заранее неизвестны.

По внешнему виду полигона частот величины радиального биения можно предположить о подчинении кривой распределения закону Релея. Этот закон распределения часто используется при технологических исследованиях, так как ему подчиняется рассеивание погрешностей формы (овальность, конусообразность) и взаимного расположения поверхности (эксцентриситет, биение, перпендикулярность и т.д.).

Интегральная функция распределения Релея имеет вид

,       (13)

Приняв в формуле (1) z=r/σ, получим следующую зависимость:

   (14)

Используя значения, полученные по формуле (11), можно рассчитать теоретические значения частости p΄:

p ΄=Ф(z_i)-Ф(z_{i -1})     (15)

Теоретические значения частоты попадания значений случайной величины в i-тый интервал:

  ,            (16)

где N – количество измерений.

Результаты расчётов по формулам (13)-(16) сводятся в таблицу 4. Выровненная кривая, наложенная на полигон значений величины радиального биения, представлена на рисунке 6.

Таблица №4 – Результаты расчёта для построения теоретической кривой распределения значений величины радиального (осевого) биения.  

Таблица№4

Номер интервала	zi	Ф(zi)
1
2
…
k

k – количество интервалов.  

Z_i – см. (18), (17)

Ф(z_i) – значение функции  распределения нормированного закона Релея. См. Приложение№1.

   Предварительная оценка экспериментальных данных субъективна, поэтому для проведения более точной оценки необходимо пользоваться статистическими критериями согласия, например χ²- критерий  Пирсона.

  6.5. Определение вероятности выхода биения за пределы поля допуска.

При распределении существенно положительных величин (закон Релея), методика расчета полностью совпадает с методами расчета при распределениях по закону Гаусса.

При распределении Релея, когда теоретическое поле рассеивания ∆ превосходит поле допуска, т.е. ∆>δ, возможно появление количества установов с превышением допустимого биения см. рис.5.

Рис.5 Количество вероятного брака при распределении по закону Релея.

 

Общую площадь F_u, ограниченную кривой распределения, находят по интегральному закону распределения эксцентриситета

 ,           (17)

который после обычной подстановки величин

       и                   (18)

                                 (19)

принимает нормированный вид

                             (20)

и табулируется аналогично функции Лапласа (см. Приложение 1)

Вычисление количества годных и бракованных заготовок в процентах сводиться к определению значений z и Ф(z).

 

Пример выполнения работы

Результаты измерений осевого биения ступицы переднего колеса автомобиля ВАЗ-2108 при многократной установке в 3-х кулачковый патрон.

Таблица №1

№	Показания индикатора, мкм			№	Показания индикатора, мкм
	min	Max	∆y (∆x)		min	max	∆y (∆x)
1	2	25	23	26	9	27	18
2	-11	10	21	27	-3	11	14
3	4	26	22	28	-18	1	19
4	0	25	25	29	1	12	11
5	7	25	18	30	6	58	52
6	0	32	32	31	-5	30	35
7	-3	20	23	32	-10	25	35
8	16	32	16	33	-9	13	22
9	2	29	27	34	0	19	19
10	3	30	27	35	12	40	42
11	5	26	21	36	7	32	25
12	9	30	21	37	4	45	41
13	8	33	25	38	5	30	35
14	10	29	19	39	-5	20	25
15	-10	18	28	40	-1	21	22
16	0	39	39	41	1	39	38
17	0	23	23	42	-4	23	27
18	6	29	23	43	0	31	31
19	21	39	18	44	16	40	36
20	17	36	19	45	-12	15	27
21	-11	10	21	46	-1	27	28
22	-3	18	21	47	10	42	32
23	0	23	23	48	5	30	25
24	-15	3	18	49	-18	10	28
25	11	32	21	50	12	34	22

 

7.1. Для построения полигона экспериментальных значений определим размах значений R, которое принимаем равным максимальной величине биения.

R=52 мкм

7.2. Определяем величину интервала h, которая берется в пределах 1/7…1/10 величины размаха R:

 h= (1/7…1/10) ∙R    

h=52/7=7,428 мкм

7.3. Весь ряд замеров разбивают на группы отклонений с интервалом h и определяют абсолютную частоту m_i попадания размеров в каждый интервал. Результаты заносят в таблицу №3

Таблица №3

№ интервала	Границы интервалов, xгр.	Середины интервалов, xi	Абсолютная частота, mi
1	0,000-0,007	0,0035	0
2	0,007-0,014	0,0109	2
3	0,014-0,022	0,0183	19
4	0,022-0,029	0,0257	17
5	0,029-0,037	0,0331	7
6	0,037-0,044	0,0405	4
7	0,044-0,052	0,0479	1

 

7.4. Строим полигон экспериментальных значений (см. рис.6)

7.5. Определяем среднее значение измеряемого биения.

7.6. Определяем эмпирическое среднеквадратическое отклонение S и расчетное среднеквадратическое отклонение σ_R учитывающие кол-во проведенных измерений.

x_i - текущий действительный размер;

 

σ_R= p∙S=10,405

p -поправочный коэффициент (см. табл.2)

 

7.7. Для построения кривой выравненной по теоретическому закону заполним таблицу №4, используя формулы 13,14, 15, 16.

 

Таблица №4

Номер интервала, i	zi	Ф(zi)
1	0,220	0,0239	0,0239	1,19
2	0,686	0,2064	0,1825	9,12
3	1,151	0,4838	0,2774	13,87
4	1,617	0,7308	0,247	12,35
5	2,081	0,8851	0,1543	7,715
6	2,549	0,9613	0,0762	3,81
7	3,015	0,9896	0,0283	1,415

 

z_i= 0,655x_i/ σ_R;

 

p_i΄= Ф(z_i)-Ф(z_i-1);

 

n_i΄= p_i΄∙N, где N=50 (кол-во измерений)

7.8. Строим полигон значений, используя данные таблицы №4

 

рис.6  Полигон экспериментальных и расчетных значений

 

7.9. Рассчитаем вероятность выхода биения за предел поля допуска.

Допустимое биение торца детали при установке будем считать значение δ=0,02мм (см. рис.2).

Среднеквадратическое отклонение измеряемого биения

S= 8,0043

Расчетное значение среднего квадратического отклонения биения

σ_R=10,4055

Фактическое поле рассеивания  

∆=5,252∙σ_R=54,64мкм

Так как фактическое поле рассеивания ∆> δ, то возможно некое количество установов детали, при котором ее биение будет превышать допустимое.

При x₀= δ=0,02мм =20мкм и z=0,655∙x₀/ σ_R=1,26

В соответствии с приложением №1

Ф(z)=0,5479

т.е. вероятность биения заготовки в пределах поля допуска составляет 54,79%, а вероятность выхода биения за пределы поля допуска составляет 45,21% соответственно.

 

Вывод: Данное приспособление нельзя использовать для обработки торца ступицы, т.к. погрешность установки детали в данном приспособлении превышает допуск на биение в более 45% всех случаев.

 

 

Приложение №1

Функция распределения нормированного закона Релея

Z	0, 00	0, 01	0, 02	0, 03	0, 04	0, 05	0, 06	0, 07	0, 08	0, 09
0,0	0,0000	0001	0002	0005	0008	0013	0018	0024	0032	0040
0,1	0050	0060	0072	0084	0098	0112	0127	0143	0161	0179
0,2	0198	0218	0239	0261	0284	0308	0332	0358	0384	0412
0,3	0440	0469	0499	0530	0562	0594	0628	0662	0690	0732
0,4	0769	0806	0844	0883	0923	0963	1004	1046	1088	1131
0,5	0,1175	1220	1265	1310	1357	1404	1451	1499	1548	1598
0,6	1647	1698	1749	1800	1852	1904	1957	2010	2064	2118
0,7	2173	2228	2283	2339	2395	2452	2508	2566	2623	2681
0,8	2739	2797	2855	2914	2973	3032	3091	3151	3211	3270
0,9	3330	3390	3450	3511	3571	3632	3692	3753	3813	3874
1,0	0,3935	3995	4056	4117	4201	4238	4298	4359	4419	4479
1,1	4539	4599	4659	4719	4779	4838	4897	4956	5015	5074
1,2	5132	5191	5249	5307	5364	5422	5479	5536	5592	5649
1,3	5704	5760	5815	5871	5925	5980	6034	6088	6141	6194
1,4	6247	6299	6351	6403	6454	6505	6555	6608	6655	6705
1,5	0,6753	6802	6850	6898	6945	6992	7038	7084	7130	7175
1,6	7220	6898	7308	7351	7394	7437	7479	7520	7562	7602
1,7	7643	7682	7722	7761	7799	7837	7875	7912	7949	7985
1,8	8021	8056	8092	8126	8160	8194	8227	8260	8292	8324
1,9	8355	8386	8417	8447	8477	8506	8535	8564	8592	8610
2,0	0,8647	8674	8700	8726	8752	8777	8802	8826	8851	8874
2,1	8898	8920	8943	8965	8987	9009	9030	9051	9071	9091
2,2	9111	9130	9149	9168	9186	9204	9222	9240	9257	9274
2,3	9290	9306	9322	9338	9353	9368	9383	9397	9411	9422
2,4	9439	9452	9465	9478	9490	9503	9515	9527	9538	9550
2,5	0,6561	9572	9582	9583	9603	9613	9623	9632	9641	9651
2,6	9660	9668	9677	9685	9693	9702	9709	9717	9724	9732
2,7	9739	9746	9753	9760	9766	9772	9778	9784	9790	9796
2,8	9802	9807	9813	9818	9823	9829	9833	9837	9842	9846
2,9	9851	9855	9859	9863	9867	9871	9875	9878	9882	9885
3,0	0,9889	9892	9896	9899	9902	9905	9907	9910	9913	9916
3,1	9918	9921	9923	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938
3,2	9940	9942	9944	9946	9947	9949	9951	9952	9954	9955
3,3	9957	9958	9960	9961	9962	9963	9965	9966	9967	9968
3,4	9969	9970	9971	9972	9973	9974	9975	9976	9976	9977
3,5	9978	9979	9980	9980	9981	9982	9982	9983	9984	9984

 

z	Ф(z)	z	Ф(z)	Z	Ф(z)
3,60-3,61	0,9985	3,70-3,72	0,9990	3,87-3,92	0,9995
3,62-3,63	0,9986	3,73-3,75	0,9991	3,93-3,98	0,9996
3,64-3,65	0,9987	3,76-3,78	0,9992	3,99-4,07	0,9997
3,66-3,67	0,9988	3,79-3,82	0,9993	4,08-4,19	0,9998
3,68-3,69	0,9989	3,83-3,86	0,9994	4,20-4,44	0,9999

 

 

Список используемой литературы

 

1. Маталин А. А. Технология механической обработки. Л., «Машиностроения» (Ленингр. отделение) 1977.

 

2. Дальский А.М. Основы технологии машиностроения. Том 1, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997

 

3. Кутай А. К. Кордонский Х. Б. Анализ точности и контроль качества в машиностроении М. – Л., «Машиностроение» 1975

 

4. Лукомский Я.И. Статистический анализ и контроль существенно положительных величин, характеризующих качество продукции. «Стандартизация» №1 и №2, 1955

 

5. РТМ 44-62 Методика статистической обработки эмпирических данных, Москва, 1966

 

Мишин В.Н.