Уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору (канонические уравнения прямой)

Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору . Так как любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, является ее направляющим вектором, то для любой точки , лежащей на данной прямой, вектор коллинеарен направляющему вектору . Поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно, имеют место равенства: ,

 

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Пусть прямая проходит через две точки: ,
направ­ляющим вектором такой прямой является вектор , и уравнения принимают вид:

 

 

уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

 

Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки и направляющего вектора , параллельного этой прямой.

Пусть прямая проходит через точку , лежащую на прямой параллельно вектору . Рассмотрим произвольную точку на прямой. Очевидно, что . Так как векторы и коллинеарны, то найдется такое число , что , причем число может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки на прямой. Множитель называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек и соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра соответствует радиус-вектор некоторой точки , лежащей на прямой.

Так как векторы то

.

 

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. При изменении параметра изменяются координаты и и точка перемещается по прямой.

Замечание. Если принять каждую из равных дробей в канонических уравнениях прямой за некоторый параметр , , то можно получить параметрические уравнения .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.

Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол поворота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.

рис.1.

Из определения следует, что угол наклона прямой L к оси Ох может изменяться от нуля до : . Если прямая , то .

Пусть

(1)

– общее уравнение прямой L, где – нормальный вектор прямой L и . Тогда и (см. рис.1). Выразим у из уравнения (1)

.

, .

Уравнение прямой L принимает вид:

.

Определение. Уравнение прямой вида

(2)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.