Скалярное произведение векторов. Длина вектора.

Определение.

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и будем обозначать как . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению .

Определение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Формулу для вычисления скалярного произведения можно записать в виде , где - числовая проекция вектора на направление вектора , а - числовая проекция вектора на направление вектора .

Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов.

Определение.

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора .

Это определение эквивалентно первому.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор. Длиной нулевого вектора называется число нуль.

Длина вектора на плоскости вычисляется по следующей формуле:

Длина вектора в трехмерном пространстве вычисляется по следующей формуле:

Формула длины вектора в n -мерном пространстве:

9. Угол между векторами. Условия параллельности и перпендикулярности.

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

По определению, угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°].
Угол между векторами обозначается так: .
Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен 90º. Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между ними равен 0^о. Если противоположно направленные векторы, то угол между ними равен 180º.
Угол между двумя ненулевыми векторами находится с помощью вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними (скалярное произведение для двух векторов с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) вычисляется по формуле: x₁x₂ + y₁y₂).

Условия параллельности и перпендикулярности векторов
Так как скалярное произведение двух перпендикулярных векторов и равно 0, то условием перпендикулярности отличных от нуля векторов будет равенство .
При умножении вектора на скаляр получаем вектор одного направления с при λ > 0и противоположного направления при λ < 0. Но всегда векторы будут параллельны.
Поэтому условием параллельности векторов будет пропорциональность их соответствующих координат: .

10. Общее уравнение прямой.

Общие уравнения прямой

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Пусть две плоскости и заданы общими уравнениями вида и , т.к. коэффициенты и не пропорциональны, то плоскости не параллельные. Тогда прямая в пространстве есть пересечение этих плоскостей:

 

 

Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.