Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема Гамильтона-Кели: Каждая матрица является корнем своего характеристического многочлена
(В лекциях без док-в., если f-характ. многочлен, то f(А)=0)
№40 Опр. Собственным вектором оператора будем называть такой вектор, для которого выполняется равенство , называется собственным значением, соответ. собственному вектору x оператора и P (C). Св-ва собств. вект 1) Каждому собств. вектору x соответствует (!) собственное значение . [ctv: ] 2) Если x – собст. вектор оператора то вектор , где 0, тоже является собст. вект. для собств. зн. ( ] Т. Если – различные собств. значения, то соответствующие им собств. вект. – образуют лин.независ. систему. (ctv) Пусть не все=0 пусть для определенности . Подействуем преобр.f на обе части(1): (2); ; (2)-(3) = =0 (*) Лин. комб. содержит лишь (k-1) векторов. Действуем на (*) преобр. f, затем умножаем (*) на , затем из первого результата вычитаем второй => уничтожится еще один вектор, продолжая данную процедуру, придем к равенству: но тогда = 0, но собственный вектор=> против. №41 Теорема (Критерий подобия квадратных матриц) Две квадратные матрицы подобны т.и.т.т.к., когда они являются матрицами одного и того же лин. преобр. в разных базисах Дост. Пусть A и B — квадр. порядка n над полем P, являются матрицами одного и того же лин. преобр. пр-ва V, тогда B=C -1AC (*), C-матрица перехода, С
Необ. Существ. Подобные матрицы порядка n–A,B выполняется (*)\ При заданном базисе между квадратичными матрицами n мерного линейного пространства существует взаимно-однозначное соответствие (по цветочку) Пусть f линейное преобразование пр-ва V, которое в некотором базисе имеет матрицу A, т.к C , то она служит матрицей перехода преобразования f в базисе
№42Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора
Пусть базис пр-ва V. А f лин. оператор, собственный вектор f=> f(x)= (2) в (1)=>перепишем (2) как )
ОСЛУ (**) относительно допускает =0 (*). Т.е. нужно решить многочлен n-степени, относительно (характеристич. многочл. преобр. f) => собств. значения обязательно должны быть корнями характерист. уравнения, =>для отыскания необходимо решить(*) Пусть -корень этого ур. Подставим его в (**) и решим систему относительно , тем самым найдем координаты собственного вектора Аналогично отыскиваются собственные векторы отвечающие другим собственным значениям
Легко видеть, что множество всех собственных векторов с собственным значением совпадает с множеством всех решений ОСЛУ №43 Опр. Пусть f лин.опер. n-мерного лин пр-ва V над полем P. Подпространство V’ называется инвариантным относительно f, если для образ . Иначе инвариантно относительно f если .
Теорема. В действительном n -мерном пр-ве V всякий лин.оператор f имеет по крайней мере одно одномерное или двумерное инвариантное пространство Пусть - какой-нибудь базис в пр-ве V и пусть - матр. оператора f в этом базисе, тогда многочлен n степени с вещ. коэф. Существует 2 возможных случая: хар. многочлен имеет корень
1) -вещественный. Тогда система для нахождения собст.вектора (*) имеет ненулевое решение, кот.опред. собстве вектор отвеч. . Очевидно, одномерное подпр. L()-инварант. подпр. относительно f
2) = + i-компл. Подставим корень в сист. (*) получим, что она имеет решение: (‘) Подставляя (‘) в (*), перенесем члены с в правую часть получим Отделяя вещ и мним. части перейдем к след.сист. (*) и (**) Введем в рассмотрение векторы и Ясно, что x,y (собст.векторы). тогда в (*)и (**) примут вид , f(y)= (***),=> подпространство порожденное векторами x и y (L(x,y)) инвариантное подпр. oператора f(x) Действительно, пусть , f(z)= = y= Размерность . Подпр. , т.к. если бы были лин.завис. y=kx, то f(x)s w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:sz w:val="14"/><w:sz-cs w:val="12"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>О·y</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> = и x был бы собственным вектором преобр с вещ.собств. значением , что невозможно
Следствие: пусть f-лин.оператор вещ. лин. пр-ва Vразмерности (zn+1), где n-натур.,тогда существует хотя бы одно одномерное инвариантное подпр. f, т.к. у f хотя бы один собств.вектор, отвечающий вещ.собст.значению—корню многочлена нечетной степени
№44 Теперь будем считать, что V- евкл.пр-во (т.е. в Vопред. операция скалярного умножения)
Опр. Лин.операторы f и называются сопряженными если имеет место равенство . Очевидно . (1) Теорема. Пусть f и сопряженные операторы в V, ортонорм. базис в V. А—мат. f, а В — мат в (2). Тогда Запишем (1) для пары векторов : (f (), ()
№45 Теорема. В конечномерном евклид. пр-ве V каждый лин. оператор обладает единств.[(!)] сопряженным. Возьмем в V ортонорм. базис f-лин. преобр. пр-ва, матр f в этом базисе. Возьмем матрицу (1). Известно, что матрице при заданном базисе отвечает (!) оператор Покажем, что f и сопряженные операторы. Из (1)=>(по теореме о матрицах сопряженных операторов) (f (), (2), т.е. для базисных векторов выполняется соотношение (@) Возьмем И рассмотрим скаляр. произвед. и = = = На основание (2) получаем, что , Что означает что соотношение выполняется для , т.е. у лин.оператора f сопряженный—f*. Тогда (@) – Единственность доказывается (ctv), с помощью утвержд.: «Если u »
№46 Опр. Лин.оператор самосопряженный(сс), если он совпадает со своим сопряжением, т.е. f=f*
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-10-24; просмотров: 195; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.30.253 (0.022 с.) |