Любые два евклидовых пространства одной размерности изоморфны. Евклидовы пространства разных размерностей не изоморфны.

Достаточно доказать что любое пространство изоморфно Rn

В Евклидовом пространстве V существует ортонормированный базис каждому  поставлено в соответствие   пространства Rn, установленное соответствие является взаимно однозначным

 Rn  

Остается доказать что для соответствующих пар сохраняется величина скалярного произведения

Чтд

 

 

№20

Опр. Комплексное линейное пространство V называется унитарным (или эрмитовым) пространством, если задан закон, сопоставляющий каждым двум векторам x и у из V комплексное число (x,у), называемое их скалярным произведением, и этот закон удовлетворяет следующим аксиомам, каковы бы ни были векторы x, у и z и число а:

1)(               

3         

Следст.1.

2.

К-Б =|(x, y)|²

Неравенство треугольника

скал произвед.

№30

Опр. Преобразование (оператор) f пространства V называется линейным если:

Свойства линейных преобразований

лин.преобр. пр-ва V то f (V) является линейным подпространством пространства V

  то (3) верно (по 2 елочкам) , а т.к. V-лин.пр. то z=ax+by∈V f(z)=f(ax)+f(by)=

4) f лин.пр. если линейно зависимая, то лин.зависимой является каждая система (f(  при этом сохраняются все линейные соотношения между векторами

5) Множество kern является лин.подпр. пространства V [Пусть x, y ∈ kern; a, b∈P f(ax+by)=f(ax)+f(by)= ]

6)Для взаимно-однозначного соответствия необ. И дост. Чтобы отличный от 0 вектор обращался в отличный от 0 (kern f=0 состоял из одного элемента)

7)rang+defect=dim

№31  пр-ваV

Опр. Суммой  называется преобразование пространства,  которое для любых x из V задается как

Т.

=

Сложение обладает св. ассоциативности и коммутативности

 

Опр. Произведением  называется пр.пр-ва которое для любых x из V задается формулой

Т.

Св. ассоциативно, но в общем случае не коммут.

Т.3умножение линейного пр. на число является лин.пр

 

Опр. Полиномом  называется пр.пр-ва которое для любых x из V задается формулой

По т (1)-(3) полином есть линейное пр. пр-ва

№32

Опр. Матрицей лин. преобр. в базисе называется мат. A: (*)( A. 

Линейное преобразование полностью определяется вектором (*), которое определяют базис {e}ⁿ и матрицу A.

Теорема для матриц лин.преобразований A и B  в базисе { e } ⁿ матрицей преобразований является

2)Пусть :

Что означает, что матрицей  в базисе  называется A B  

№33

f лин.пр. если линейно зависимая, то лин.зависимой является каждая система (f(  при этом сохраняются все линейные соотношения между векторами

 

Опр. Размерность пространства называется рангом линейного преобразования:

Опр. Совокупность всех векторов пространства V для которых f(V)=0 называется ядром линейного преобразования