Моделювання сезонних і циклічних коливань

 

Виділяють чотири складові часового ряду:

·   Тренд. Якщо в часовому ряді проявляється тривала тенденція зміни економічного показника, то говорять, що має місце тренд. Таким чином, під трендом розуміють зміну, що визначає загальний напрям розвитку, основну тенденцію часового ряду. В зв’язку з цим економіко-математична динамічна модель, в якій розвиток економічної системи, що моделюється, відображається через тренд її основних показників, називається трендовою моделлю. Для виявлення тренду в часових рядах, а також побудови і аналізу трендових моделей використовується апарат теорії ймовірностей та математичної статистики.

·   Циклічна складова. Однією з причин динаміки явища може бути його циклічний характер. Існує ціла теорія економічних циклів, яка визначає види циклів і ступінь циклічності різних соціально-економічних явищ. Іноді поняття «хвилі» уживається як тотожне поняттю «цикл». Тривалість циклів (або довжину хвилі) для кожного процесу необхідно визначати окремо, що вимагає від дослідника глибоких економічних і соціологічних знань.

·   Сезонна складова. Це ряд чинників, які протягом календарного року певним чином змінюються, і така зміна повторюється з року в рік. Як приклад впливу цієї складової на показник, що вивчається, можна привести зміну показника «Рівень цін на окремі продукти харчування» в різні періоди року. Дійсно, ціни на фрукти в Україні зазвичай взимку і весною істотно вище, ніж влітку і осінню.

·   Випадкові коливання. Випадковими чинниками, що впливають на динаміку явища, називаються такі чинники, появу яких неможливо передбачити, а ступінь дії складно зміряти зважаючи на його короткочасність.

 

Рис. 1.3.1. Основні компоненти часового ряду

 

На рис. 1.3.1 зображено основні компоненти часового ряду: а) зростаюча тенденція; б) сезонна; в) випадкова компонента.

Існує декілька підходів до аналізу структури часових рядів, що містять сезонні чи циклічні коливання.

Найпростіший підхід - розрахунок значень сезонної компоненти методом ковзної середньої і побудова адитивної або мультиплікативної моделі часового ряду. Загальний вигляд адитивної моделі наступний:

= T + S+C + E (1.3.1)

 

Ця модель передбачає, що кожен рівень часового ряду може бути представлений як сума трендової (T), сезонної (S) і випадкової (E) компонент. Загальний вигляд мультиплікативної моделі виглядає так:

= T * S *С* E (1.3.2)

 

Ця модель передбачає, що кожен рівень часового ряду може бути представлений як добуток трендової (T), сезонної (S) і випадкової (E) компонент. Вибір однієї з двох моделей здійснюється на основі аналізу структури сезонних коливань. Якщо амплітуда коливань приблизно постійна, будують адитивну модель часового ряду, в якій значення сезонної компоненти передбачаються постійними для різних циклів. Якщо амплітуда сезонних коливань збільшується або зменшується, будують мультиплікативну модель часового ряду, яка ставить рівні ряду в залежність від значень сезонної компоненти.

Побудова адитивної і мультиплікативної моделей зводиться до розрахунку значень T, S та Е для кожного рівня ряду.

Процес побудови моделі включає в себе наступні кроки:

. Вирівнювання вихідного ряду методом ковзної середньої.

. Розрахунок значень сезонної компоненти S.

. Усунення сезонної компоненти з вихідних рівнів ряду і отримання вирівняних даних (T + E) у адитивної або (Т * Е) у мультиплікативної моделі.

. Аналітичне вирівнювання рівнів (T + Е) або (Т * Е) і розрахунок значень Т з використанням отриманого рівняння тренду.

. Розрахунок отриманих за моделлю значень (T + S) або (T * S).

. Розрахунок абсолютних та / або відносних помилок.

Якщо отримані значення помилок не містять автокореляції, ними можна замінити вихідні рівні ряду і надалі використовувати часовий ряд помилок E для аналізу взаємозв'язку вихідного ряду та інших тимчасових рядів.

За наявності в часовому ряду тренду і циклічних коливань значення кожного подальшого рівня ряду залежить від попередніх. Кореляційну залежність між послідовними рівнями часового ряду називають автокореляцією рівнів ряду.

Кількісно її можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції між рівнями даного часового ряду і рівнями цього ряду, зрушеними на декілька кроків в часі.

Формула для розрахунку коефіцієнта автокореляції має вигляд:

,

 

де

Цю величину називають коефіцієнтом автокореляції рівнів ряду першого порядку, оскільки він вимірює залежність між сусідніми рівнями ряду  і .

Аналогічно можна визначити коефіцієнти автокореляції другого і вищих порядків. Так, коефіцієнт автокореляції другого порядку характеризує тісноту зв'язку між рівнями  і  і визначається по формулі:

 

 

де

Коефіцієнт автокореляції порядку  знаходиться по формулі:

 

.

В ряді випадків використовують більш спрощений варіант формули:

 

 

Беручи різні значення  будемо отримувати послідовність значень . Число періодів, по яких розраховується коефіцієнт автокореляції, називають лагом. Із збільшенням лага число пар значень, по яких розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується. Вважається за доцільне для забезпечення статистичної достовірності коефіцієнтів автокореляції використовувати правило - максимальний лаг повинен бути не більше .

Властивості коефіцієнта автокореляції.Коефіцієнт автокореляції розраховується по аналогії з лінійним коефіцієнтом кореляції і таким чином характеризує тісноту тільки лінійного зв'язку поточного і попереднього рівнів ряду. Тому по коефіцієнту автокореляції можна судити про наявність лінійної (або близькою до лінійної) тенденції. Для деяких часових рядів, що мають сильний нелінійний тренд (наприклад, параболу другого порядку або експоненту), коефіцієнт автокореляції рівнів початкового ряду може наближатися до нуля.

По знаку коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про зростаючу або спадаючу тенденцію в рівнях ряду. Більшість динамічних рядів економічних даних містять додатну автокореляцію рівнів, проте при цьому можуть мати спадаючу тенденцію.

Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого і т.д. порядків називають автокореляційною функцією часового ряду. Графік залежності її значень від величини лага (порядку коефіцієнта автокореляції) називається корелограмою.

Аналіз автокореляційної функції і корелограми дозволяє визначити лаг, при якому автокореляція найбільш висока, а отже, і лаг, при якому зв'язок між поточним і попередніми рівнями ряду найбільш тісний, тобто за допомогою аналізу автокореляційної функції і корелограми можна виявити структуру ряду.

Якщо найбільш високим виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку, досліджуваний ряд містить тільки тренд. Якщо найбільш високим виявився коефіцієнт автокореляції порядку , то ряд містить циклічні коливання з періодичністю в  моментів часу. Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значущим, можна зробити одне з двох припущень щодо структури цього ряду: або ряд не містить тренду і циклічних коливань, або ряд містить сильний нелінійний тренд, для виявлення якого потрібно провести додатковий аналіз. Тому коефіцієнт автокореляції рівнів і автокореляційну функцію доцільно використовувати для виявлення в часовому ряду наявності або відсутності трендової компоненти і циклічної (сезонної) компоненти.