Статистична обробка результатів прямих багатократних вимірювань з незалежними равноточними спостереженнями

 

Задані результати серії (групи, ряду) спостережень фізичної величини Х постійного розміру (маси). Позначимо їх , , де  - число спостережень в серії. Результати спостережень вважаються незалежними і равноточными (за умовами експерименту). У загальному випадку вони можуть містити систематичну і випадкову похибку, що становлять погрішності вимірювань.

Дано:

Р=0,95;

n=20;

= ±1,42

Зведемо результати спостережень в таблицю 4.1:

 

Таблиця 4.1

№	, мг/л
1	1,148
2	1,159
3	1,102
4	1,120
5	1,149
6	1,157
7	1,112
8	1,118
9	1,150
10	1,156
11	1,117
12	1,178
13	1,138
14	1,165
15	1,128
16	1,175
17	1,139
18	1,168
19	1,127
20	1,167

 

Завдання. За наслідками багатократних спостережень визначити найбільш достовірне значення вимірюваної фізичної величини і його довірчі межі.

Методика обробки.

Завдання перевірки гіпотези про вид функції щільності розподілу результатів багаторазових вимірювань формується так: існує серія (група, ряд) результатів вимірювань фізичної величини того самого розміру, який отриман експериментально і висловлюється гіпотеза про те, що ці результати можна вважати реалізаціями випадкової величини з явною передбачуваною формою функції щільності розподілу. У найпростішому випадку вид цієї функції можна встановити по вигляду гістограми, побудованої за результатами багаторазових вимірювань. Проте цей підхід дає досить грубе уявлення про закон розподілу. Тому для перевірки гіпотези необхідно користуватись методами математичної статистики.

1. Систематичні погрішності з результатів спостережень виключити не вдається, тому що неможливо їх виявити. Вони відносяться до не виключених систематичних похибок або до не виключених залишків систематичних похибок. В цьому випадку проводиться оцінка меж  кожної j-той (або сумарної) не виключеної систематичної похибки або їх залишків. Аналізують серію результатів спостережень на наявність промахів. У нашому випадку промахи не виявлені, отже з серії спостережень ми нічого не виключаємо.

2. Перевіряють відповідність експериментального закону розподілу результатів спостережень  нормальному.

Для цього використовують різні критерії згоди, серед яких найбільш широке застосування знаходять складений критерій і критерій W. При виконанні курсової роботи може використовуватися будь-який з цих критеріїв. Відомо декілька таких званих критеріїв згоди, зокрема критерій К. Пірсона (хі-квадрат), критерій Мізеса-Смірнова (w²), критерій Колмагорова і складений критерій.

Для перевірки гіпотези щодо нормального розподілу широко застосовується складений критерій. Тому що він включає два незалежні критерії і використовується при перевірці гіпотези коли кількість результатів спостережень у нас 10 . У нашому випадку n=20, саме тому і використовується даний критерій.

Складений критерій включає два незалежні критерії, їх позначають I і II. Перший з цих критеріїв (критерій I) забезпечує перевірку відповідності розподілу експериментальних даних нормальному закону розподілу, а другий критерій (критерій II) - на краях розподілу. Якщо при перевірці не задовольняється хоч би один з цих критеріїв, то гіпотеза про нормальність розподілу результатів спостережень відкидається.[13]

а) для перевірки гіпотези про нормальність розподілу початкової серії результатів спостережень по критерію I обчислюють параметр (показник) , визначуваний співвідношенням:

 

,                                                    (4.1)

 

де  - середнє арифметичне результатів спостережень ;

 - зміщена оцінка СКО результатів спостережень.

Зведемо в таблицю 4.2, вирази, які знадобляться для подальших розрахунків.

Таблиця 4.2

№			^2
1	1,148	0,00435	1,89225Е-05
2	1,159	0,01535	0,000235622
3	1,102	0,04165	0,001734723
4	1,120	0,02365	0,000559322
5	1,149	0,00535	2,86225Е-05
6	1,157	0,01335	0,000178222
7	1,112	0,03165	0,001001723
8	1,118	0,02565	0,000657922
9	1,150	0,00635	4,03225Е-05
10	1,156	0,01235	0,000152522
11	1,117	0,02665	0,000710223
12	1,178	0,03435	0,001179922
13	1,138	0,00565	3,19225Е-05
14	1,165	0,02135	0,000455822
15	1,128	0,01565	0,000244923
16	1,175	0,03135	0,000982822
17	1,139	0,00465	2,16225Е-05
18	1,168	0,02435	0,000592922
19	1,127	0,017	0,000277223
20	1,167	0,02335	0,000545222

 

                                           (4.2)

                                              (4.3)

 = 0,38405                                        (4.4)

= 0,00965055                                 (4.5)

Зміщена оцінка

СКО: ,                                  (4.6)

мг/л

 

Підставляємо значення для обчислення параметра :

 

=0,8768

 

Результати спостережень  вважаються розподіленими по нормальному закону, якщо виконується умова:

де  та  - квантилі розподілу параметра d.

Їх знаходять по табл. П.1 додатку [13] значень α - процентних точок розподілу параметра d за заданим обсягом вибірки n і прийнятому для критерію I рівню значущості α₁.

 

=1-Р; Р = 0,95;

=0,05;

;

;

 

Методом інтерполяції знаходимо параметри d для n=20, при =0,1.

Для зручного обчислення зведемо дані П.1 додатка (13) у таблицю 4.3

Крок таблиці h=5

 

Таблиця 4.3

X0=16	Х=20	Х1=21
У0=0,8884	У	У1=0,8768

 

g= ,                                             (4.7)

g= =0,8

 

Інтерполяцію проводимо по формулі:

 

У=У₀+g(У₁-У₀)                                       (4.8)

У=0,884+0,8(0,8768-0,8884)=0,87912

 

Одержали квантиль розподілу параметра d:

 

 

Для знаходження  проведемо інтерполяцію по формулі (4.8).

Для зручного обчислення зведемо дані П.1 додатка (13) у таблицю 4.4

Крок таблиці h=5.

 

Таблиця 4.4

Х0=16	Х=20	Х1=21
У0=0,7236	У	У1=0,7304

 

По формулах 4.7 та 4.8 проводимо розрахунки необхідних коефіцієнтів.

 

g= =0,8 У=0,7236+0,8(0,7304-0,7236)=0,72904

 

Одержали квантиль розподілу параметра d:

 

=0,72904

 

Перевіряємо відповідність виразу

звідси одержуємо нерівність: 0,95< < 0,05;

 

0,72904<0,8768<0,87912;

 

Враховуючи, що рівні значимості  (для критерію I) і  (для критерію II) вибираються з умови, щоб рівень значущості складеного критерію

 ( =1-Р) при одних і тих же експериментальних даних не перевершував суми рівнів значущості  і , то на цьому етапі перевірки результати спостережень належать нормальному закону розподілу.

б) Відповідно до критерію II результати спостережень , належать нормальному закону розподілу, якщо не більше m різниць  перевершили значення ,

де  - незміщена оцінка СКО результатів спостережень;

 - верхня квантиль розподілу інтегральної функції нормованого нормального розподілу, відповідно довірчій вірогідності .

Значення m (m=1) і  знаходять по числу спостережень n=20 і рівню значущості =0,01 для критерію II по таблиці П.2 в додатку [13]

Незміщену оцінку СКО знаходимо по формулі:

 

,                                     (4.9)

=  мг/л

 

Потім обчислюють:

 

=Ф (),                                    (4.10)

=0,9950

 

По таблиці П.З додатку [13] інтегральної функції нормованого нормального розподілу знаходять , відповідне обчисленому значенню функції .

Використовуємо метод інтерполяції для того, щоб знайти потрібне значення n=20, =0,01 і m=1,Р2=0,99.

Для зручного обчислення зведемо дані в таблицю 4.5

 

Таблиця 4.5

Х0=0,9949	Х=0,9950	Х1=0,9952
У0=2,81	У	У1=2,82

 

Визначимо крок таблиці h=0,0003.

 

g= =0,333

 

Інтерполюємо по формулі (4.4):

 

У=2,81+0,333(2,82-2,81)=2,813

Отже =2,813;

 

Обчислимо вираз

 

                                                   (4.11)

 

Після цього перевіряють виконання критерію.

Критерій виконаний, оскільки жодне значення  не перевищило значення 0,06329. Отже, результати спостережень належать нормальному закону розподілу, оскільки це підтвердили обидва критерії.

3. Проводять перевірку грубих погрішностей результатів спостережень або, по іншому, оцінку анормальності окремих результатів спостережень.

Для виявлення грубих результатів вимірювань використовують статистичні критерії. При умові, що вимоги до точності результатів невисокі, можна користуватись найпростішим критерієм, яким є „Правило ”. Але у нашому випадку головне – це точність, тому застосовуємо інший критерій, що ґрунтується на порівнянні теоретичного (або граничного) і експериментального (або фактичного) значень параметра t, який характеризує найбільше відхилення результатів спостережень  від середньо арифметичного .

Для цього: а) складають впорядкований ряд результатів спостережень, розташувавши початкові елементи у порядку зростання і виконавши їх перенумерацию. Для зручності і наочності перенумерований впорядкований ряд спостережень зведемо в таблицю 4.6

б) для крайніх членів (результатів спостережень) впорядкованого ряду  і, які найбільш віддалені від центру розподілу (визначуваного як середнє арифметичне цього ряду) і тому з найбільшою вірогідністю можуть містити грубі погрішності, знаходять модулі різниць  і для більшого з них обчислюють параметр :

 

                                       (4.12)

де max - найбільше значення .

         =0,04165-max

         =0,03435

 

Таблиця 4.6

№
1	1,102
2	1,112
3	1,117
4	1,118
5	1,120
6	1,127
7	1,128
8	1,138
9	1,139
10	1,148
11	1,149
12	1,150
13	1,156
14	1,157
15	1,159
16	1,165
17	1,167
18	1,168
19	1,175
20	1,178

в) по таблиці  (табл. П.7 додатки), входом якої є число елементів вибірки n (n=20) і задана довірча вірогідність Р (або рівень значущості  ), знаходять теоретичне або граничне значення параметра  і порівнюють його з обчисленим фактичним значенням параметра .

Критерієм анормальності результату спостережень  є умова .

Одержуємо, що умова  не виконалася: 1,8511 2,623, це означає що результати вимірювань грубих погрішностей не містять.

4. Обчислюємо незміщену оцінку СКО результату вимірювання відповідно до виразу

 

                                                   (4.13)

= =0,00503.

 

де  - значення незміщеної оцінки СКО  результатів спостережень , обчислено для об'єму вибірки n', що не містить анормальних (грубих) результатів спостережень (n'<n).

5. Визначають довірчі межі випадкової складової  погрішності вимірювань з багатократними спостереженнями залежно від числа спостережень n у вибірці, що не містить анормальних результатів, межі  довірчого інтервалу обчислюють за формулою при n < 30:

 

=±                                                    (4.14)

 

де  - коефіцієнт Стьюдента, визначуваний на підставі розподілу Стьюдента (табл. П.8 додатку) по заданій довірчій вірогідності Р (або рівню значущості) і числу мір свободи K_s=n - 1.

 

K_s=20-1=19

=2,0930

Отже  = ± 2,093 0,00503=0,01053.

 

6. Визначають довірчі межі сумарної не виключеної  систематичної складової погрішності результату вимірювань з багатократними спостереженнями. Початковими даними на цьому етапі обробки є межі не виключеними залишків систематичних погрішностей, одержані в процесі попереднього аналізу умов проведення експерименту. Тобто значення , які істотно менше за інших (на порядок і більш), слід відкинути, а що залишилися підсумувати по формулі:

 

                                          (4.15)

 

де N - число залишків систематичних погрішностей, що враховуються не виключеним;

 - числовий коефіцієнт, залежний від довірчої вірогідності Р, числа складових Nі співвідношення між ними.

У нашому випадку  задано, отже, розрахунок цього пункту не виконуємо.

= ±1,42 =±0,0071426

 

7. Визначають довірчі межі  сумарної (повної) погрішності вимірювань з багатократними спостереженнями. Обчислення  засноване на співвідношенні між СКО  - випадковою складовою, і довірчими межами  невиключеної систематичної складової погрішності вимірювань з багатократними спостереженнями.

Оскільки  Розрахунок виконуємо для випадку коли , тоді довірчі межі сумарної погрішності вимірювань з багатократними спостереженнями визначають по формулі.

 

                        (4.16)

=±0,0125

 

8. Формі подання результатів вимірювань.

Згідно з МІ 1317-86 [14], спільно з результатами вимірювань, поданими іменованими чи неіменованими числом за формою:

 

х={x}[x]=N_xx,                                      (4.17)

 

де {x}=N_x – числове значення вимірювальної фізичної величини;

[x] – одиниця вимірювань.

Треба вказувати характеристики його похибок або їх статистичні оцінки й умови, при яких ці характеристики та оцінки дійсні.

До складу такого розуму можуть входити:

- діапазон значень і частотні спектри вимірювальних величин;

- діапазон значень усіх величин, що істотно впливають на похибки вимірювань.

Конкретні форми результатів вимірювань, визначаються за якою методикою виконання вимірювань проводяться: атестованою чи не атестованою.

У тому і у іншому випадках можливі дві форми подання результатів.

При використанні атестованої методики:

а) указується результат вимірювання, значення характеристики похибки й умови вимірювань;

б) указується результат вимірювання, при цьому замість запису характеристик похибки можна посилатися на методику або на інший документ, що засвідчує характеристики похибок, які одержують при використання даної методики і умови її застосування.

Якщо вимірювання проводяться за не атестованою методикою:

а) спільно з результатами вимірювання вказуються статичні оцінки характеристики похибки вимірювань;

б) допускається також результат вимірювання, представлен довірчим інтервалом, а статичні оцінки характеристики похибки вимірювання окремо не вказуються.

Записують результат вимірювань з багатократними спостереженнями. Його представляють у вигляді:

 

; Р=0.95

=(1,144±0,013), мг/л;

Або ; P=0.95

(), мг/л.

 

Запис результату вимірювань у такому вигляді є прийнятим, тому що методика вимірювання не атестована.

В даній дипломній роботі розроблювалась модель сертифікації молочної продукції по методу, який є не атестованим, а для подальшого використання цього методу потрібно провести атестацію за системою УкрСЕПРО. Для подальшого використання такого методу обробки результатів вимірювань наведемо блок схему алгоритму (рис.4.2).

Алгоритм методики обробки результатів вимірювань.