Нахождение глобальных экстремумов функции

Глобальным экстремумом называют точку пространства исследования, в которой функция имеет большее (меньшее) значение по сравнению с любой другой точкой пространства исследования. Таким образом, глобальный экстремум – это оптимальное решение для всего пространства исследования.

Напомним, что непрерывная на отрезке [ a, b ] функция ограничена и достигает своего минимума и максимума, т.е. у неё на отрезке можно найти наибольшее и наименьшее значение. Поскольку в точках локальных экстремумов производная функции обращается в нуль или не существует, то для поиска глобальных минимума и максимума функции на отрезке аналитически нужно найти все точки, в которых производная обращается в нуль или не существует. Необходимо вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем выбрать из этих значений минимальное и максимальное.

При использовании Поиска решения поиск экстремумов автоматически осуществляется на всем заданном отрезке, включая концы отрезка и критические точки, но при наличии нескольких критических точек необходимо последовательно выполнить поиск решения в окрестностях каждой из этих точек. Ниже приведены примеры нахождения глобальных экстремумов функций.

 

Пример1.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) = 2x³ − 3x² − 36x + 10 на отрезке [− 5;5 ].

Решение. На листе Excel построим график функции на отрезке [− 5;5 ] с шагом 0,5 (рис. 1).

Из анализа функции следует, что необходимо найти значения функции в точках локальных минимума и максимума и на концах отрезка. Значения на концах отрезка у нас уже вычислены в таблице исходя из логики построения графика (для построения графика необходимо вычислить значения функции на отрезке от начальной точки до конечной с некоторым шагом, формула в ячейке В3 будет иметь вид: =2*A3^3-3*A3^2-36*A3+10).

Итак, f (-5) = -135, f (5) = 5. Осталось вычислить значения функции в точках локальных экстремумов. В две пустые ячейки D 20 и D 22 введем значения х из окрестности предполагаемого максимума, например, -5; и предполагаемого минимума, например, 5 соответственно, а в соседние ячейки – Е20 и Е22 введем формулы для вычисления значения функции (рис 1). Вызовем функцию Поиск решения и в качестве ограничений сравним значение х с нижней и верхней границей (рис. 2).

Рис. 1. Экстремумы функции f(x) = 2x³ − 3x² − 36x + 10 на отрезке [− 5;5 ]

 

Рис. 2. Окно функции Поиск решения

 

Поочередно меняя в окне функции целевую и изменяемую ячейки, и подкорректировав ограничения, получим локальные максимум и минимум функции, что и будет соответствовать значениям -2 и 3 в ячейках Е18 и Е20 на рисунке 1.

Проверим, находятся ли в этих точках локальные экстремумы: вычислим производную для всех точек на заданном интервале (столбец С). Формула в ячейке С3 будет иметь вид: =(2*(A3+$E$1)^3-3*(A3+$E$1)^2-36*(A3+$E$1)+10-B3)/$E$1. Проанализировав полученные значения производной, констатируем, что в точках -2 и 3 производные действительно равны 0, и меняют знаки, значит, функция имеет в этих точках локальные экстремумы.

Сравнивая значения функции на концах отрезка и в точках локальных экстремумов (на рисунке выделены жирным шрифтом), находим, что

m in_{x ∈ [−5,5]} f(x) = −135, max_{x ∈ [−5,5]} f(x) = 54.

Пример1.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=xe^−3x на отрезке [ 0,1 ].

 

Решение. На листе Excel построим график функции на отрезке [ 0;1 ] с шагом 0,1 (рис. 3).

Из анализа функции следует, что необходимо найти значения функции в точке локального максимума и на концах отрезка. Аналогично предыдущему примеру, значения на концах отрезка у нас автоматически вычислены в таблице, которая создана для построения графика. Найдем локальный максимум. Введем в пустую ячейку H 6 значение х из окрестности предполагаемого максимума, например, 0,5, в ячейку I 6 – функцию, зависящую от ячейки H 6. Вызовем функцию Поиск решения, где в качестве целевой ячейки укажем ячейку I 6, а в качестве изменяемой ячейки – H 6, введем ограничения на х и выполним поиск решения.

Рис. 3. Экстремумы функции f(x)=xe^−3x на отрезке [ 0,1 ]

Проверим, является ли найденный максимум точкой локального экстремума. В ячейке J 9 вычислим производную в точке х = 0,3333333, она равна 0, что подтверждает наличие экстремума в этой точке.

Сравнивая значения функции на концах отрезки и в точке локального максимума, находим, что max _[0,1] f (x)=0,1226, min _[0,1] f (x)=0.

 

Пример1.3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x)=x³−2x|x−2| на отрезке [ 0;3 ].

Решение. Для реализации вычисления модуля воспользуемся встроенной функцией ABS (x). Введем данные в Excel (рис. 4).

Рис. 4. Экстремумы функции f(x)=x³−2x|x−2| на отрезке [ 0;3 ]

 

Найдем локальный минимум в окрестности точки х=1, используя функцию Поиск решения. Получим, что в точке х = 0,666667 функция имеет минимум, равный -1,4814815. Проверим наличие экстремума в найденной точке. Вычисленная в точке х = 0,666667 производная равна 0, что подтверждает наличие экстремума в исследуемой точке.

Таким образом, min_[0;3]f(x)=−1,48148, max_[0;3]f(x)=21.

 

Пример1.4. Найти глобальные экстремумы функции f(x)=x+1/(x−2) на отрезке 0.

Решение. Построим график функции (рис. 5). Функция не определена в точке x=2. Посредством надстройки «Поиск решения» найдем минимальное и максимальное значения функции в окрестностях точек 0 и 5. Минимальное значение функции находится в точке х=1, а максимальное в точке х=3, производные в этих точках равны 0, что свидетельствует о наличии экстремумов в этих точках. Однако, т.к. функция не является непрерывной на заданном отрезке, не имеет смысла говорить о глобальных экстремумах, найденные нами экстремумы являются локальными.

Рис. 5. График и экстремумы функции (x)=x+1/(x−2) на отрезке [ 0;5 ]