Числовые характеристики функции двух случайных величин

Задача 6. Случайная величина x распределена равномерно в интервале (2;4), а независимая от нее случайная величина h распределена по нормальному закону с параметрами , . Требуется:

а) записать плотности вероятности  и  для случайных величин x и h;

б) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

 

;

 

в) вычислить математическое ожидание случайной величины

 

.

Решение

а) Так как случайная величина x имеет равномерное распределение, а h - нормальное распределение, то их плотности вероятности определяются соответственно выражениями:

 

 

Следовательно,

 

 

б) Запишем числовые характеристики исходных случайных величин:

 

, , ,

 

Используя свойства математического ожидания и дисперсии функции случайных величин, получим:

 

;

 

Итак, искомые числовые характеристики

 

, .

 

в) Зная числовые характеристики исходных случайных величин, пользуясь свойствами и определением математического ожидания функции непрерывной случайной величины, имеем:

 

= = .

 

Таким образом, .

 

Числовые характеристики функции трех случайных величин

Задача 7. Для системы трех случайных величин (, , ) даны математические ожидания , ,  и корреляционная матрица

 

 

Требуется:

а) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

 

;

 

б) вычислить математическое ожидание случайной величины

 

.

 

Решение

Согласно заданной корреляционной матрице имеем:

 

, , ;

, ,

 

Искомые числовые характеристики найдем, пользуясь свойствами математического ожидания, дисперсии и корреляционного момента:

 

а)

;

.

 

Искомые характеристики , .

 

б)

=

.

 

Таким образом,

 

Характеристическая функция

Задача 8. Для данной плотности вероятности  найти характеристическую функцию  и с её помощью вычислить математическое ожидание .

Решение.

I способ. Воспользуемся методами операционного исчисления. Так как данная плотность вероятности  является оригиналом, то характеристическая функция  для неё является изображением. Найдём его, учитывая свойство линейности преобразования Лапласа и соотношение

 

, где

 

II способ. Характеристическую функцию  можно найти и по определению:

 

 

Вычислим , используя формулу . Имеем:

 

Композиция законов распределения

Задача 9. Независимые случайные величины x и h распределены равномерно на отрезке [2; 4], т.е. их плотности вероятностей имеют вид:

 

 

Определить плотность вероятности  случайной величины , проверить условие нормировки для  и построить графики функций , , .

Решение

Воспользуемся аппаратом характеристических функций и методами операционного исчисления. Для этого найдём характеристические функции  и  как изображения для плотностей вероятностей  и . Далее, учитывая независимость случайных величин x и , получим характеристическую функцию как произведение характеристических функций слагаемых случайных величин = ∙ . После этого, совершив обратное преобразование Лапласа, найдём искомую плотность вероятности  как оригинал для характеристической функции .

Найдём для  и  характеристические функции  и , используя свойства линейности преобразования Лапласа, запаздывания оригинала и операционное соотношение

 

где :

 

Следовательно,

 

 

Далее, используя свойство запаздывания оригинала и операционное соотношение , находим искомую плотность  как оригинал для характеристической функции  

 

 

Проверим условие нормировки для функции :

 

 

 

Графики функций , ,  приведены на рис. 2.13 - 2.15:

 

Рис. 2.13                           Рис. 2.14                  Рис. 2.15