Непрерывные системы двух случайных величин

Задача 2. Система случайных величин  задана совместной плотностью вероятности

 

 

в треугольной области АВС с координатами А(-1; 0), В(0; 1), С(-1; 2).

Требуется:

а) вычислить константу а в выражении для плотности вероятности ;

б) вычислить вероятность попадания случайной точки  в треугольную область АВD с координатами D(-1; 1);

в) найти безусловные плотности вероятности  и  случайных величин x и h;

г) найти условные плотности вероятности , ;

д) установить, являются ли случайные величины x и h независимыми;

е) вычислить основные числовые характеристики системы :

.

ж) найти условные математические ожидания  и  (случайной величины x относительно h и случайной величины h относительно x);

з) построить линии регрессии (x по h и h по x).

Решение.

Изобразим треугольную область АВС (рис. 2.1).

а) Для нахождения константы а в выражении для плотности вероятности , воспользуемся условием нормировки

 

 

Имеем

 

,

 

и, следовательно,

 

.

 

Напоминание. Площадь треугольника, построенного на векторах  и , равна

 

 

Рис. 2.1

б) Вероятность попадания равномерно распределенной в области D случайной точки  в некоторую область , найдем по формуле:

 

.

 

Точка D(0; 4) (см. рис. 2.1), следовательно,

 

.

 

в) Зная совместную плотность вероятности , можно найти безусловную плотность вероятности любой из случайных величин, входящих в систему  по формулам:

 

 = ,

 = .

 

Для расстановки пределов интегрирования в последних формулах составим уравнения прямых АВ, ВС и АС.

Напоминания: 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки  и , имеет вид

 

 

2. Уравнение прямой в отрезках имеет вид

 

,

 

где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох,

b - ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Уравнение прямой АВ имеет вид:

 

, .

 

Уравнение прямой ВС имеет вид:

 

, .

 

Уравнение прямой АС: .

Треугольник АВС не является областью, стандартной относительно оси  (см. рис. 2.1). Линия входа - отрезок прямой АВ (). Линия выхода - отрезок прямой ВС (), если .

Таким образом,

 

 = , если

 

Итак,

 

 =

Плотность вероятности  должна удовлетворять условию нормировки

 

.

 

Для его проверки построим график  (рис. 2.2).

 

Рис. 2.2

 

Площадь треугольника, ограниченного графиком  и осью Ох, равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется.

Треугольник АВС является областью, стандартной относительно оси Ох (см. рис. 2.1). Линия входа - отрезок оси Оу (), линия выхода - отрезок прямой АВ (), если , и отрезок прямой ВС ()

Таким образом,

 

 = , если

 = , если .

 

Итак,

Для проверки условия нормировки  построим график  (рис. 2.3).

 

Рис. 2.3

 

Согласно рис. 2.3 площадь треугольника, ограниченного графиком  и осью Оу, равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется.

г) Условные плотности вероятности выражаются через безусловные по формулам:

 

 =  при ,

 =  при .

 

Следовательно,

 

Заметим, что условие нормировки  должно выполняться для любого фиксированного у, а условие нормировки  должно выполняться для любого фиксированного х.

д) Установить зависимость или независимость случайных величин x и h, входящих в систему , можно, сравнив условные ,  и безусловные ,  плотности, или, проверив необходимое и достаточное условие независимости = ∙ . В нашем случае  и , следовательно, x и h зависимы. Очевидно также, что × , что подтверждает сделанный вывод.

е) Вычислим основные числовые характеристики системы :

 

 = ;

 = .

 

Заметим, что если система случайных величин  распределена равномерно в треугольной области АВС, где А(х₁, y₁), B(х₂, y₂), C(х₃, y₃), то

 

 = ,  = ;

 

(, ) - так называемый центр рассеивания.

 

Проверим:

 

 = ,  = .

 

Для вычисления дисперсии  воспользуемся формулой

 

 = .

 

Вычислим второй начальный момент :

 

 = .

 

Тогда

 

 = .

 

Аналогично вычислим дисперсию случайной величины h:

 

 = .

 

Корреляционный момент , характеризующий связь между случайными величинами x и h, найдем по формуле

 

 = .

Для этого вычислим сначала второй смешанный начальный момент

 

 =

 

Тогда

 

 =

 

Безразмерной характеристикой связи между случайными величинами x и h служит коэффициент корреляции :

 

 = .

 

В рассматриваемом случае

 

 = .

 

Коэффициент корреляции  отражает «степень линейной зависимости» случайных величин x и h. Так как  = 0, x и h независимы.

ж) Условные математические ожидания случайных величин x и h, входящих в систему , найдем по формулам:

 

 =  и  = .

 

Имеем:

 

 =

 =

 

Заметим, что в случае равномерного распределения системы  функции  и  являются линейными.

з) Построим линии регрессии, определяемые уравнениями  и . В рассматриваемой задаче

 

,

 

Графики линий регрессии приведены на рис. 2.4.

 

Рис. 2.4

Заметим, что линия регрессии  графически изображает зависимость «в среднем» случайной величины x от возможных значений случайной величины h. Аналогично для .