Дискретные системы двух случайных величин

Дискретные системы двух случайных величин

 

Задача 1. По цели производиться два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна р₁=0.7, при втором р₂=0.8. Рассматривается дискретная система двух случайных величин , где x - число попаданий при первом выстреле, h - число попаданий при втором выстреле.

Для рассматриваемой дискретной системы случайных величин  требуется:

а) описать закон распределения системы ;

б) описать законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему;

в) описать условный закон распределения случайной величины x при условии h = 1 и при этом условии вычислить условное математическое ожидание ;

г) выяснить, зависимы или нет случайные величины x и h;

д) вычислить вероятности  и >h);

е) вычислить основные числовые характеристики для системы :

.

Решение.

а) Для описания закона распределения дискретной системы двух случайных величин необходимо определить множество всех возможных пар значений

 

 

и соответствующие вероятности . Результат удобно представить в виде таблицы 2.1

 

Таблица 2.1

01
0
1

 

В первой строке указываются возможные значения случайной величины x, а в первом столбце - возможные значения случайной величины h; в последней строке и в последнем столбце указываются безусловные вероятности возможных значений соответственно случайных величин x и h. В каждой клетке таблицы, стоящей на пересечении i-го столбца и j-й строки, указываются вероятности совместного осуществления события

 

,

 

т. е.,

 

 

Заполним таблицу.

 

 

Занесем полученные данные в табл. 2.2

 

Таблица 2.2

01pj
0	0.06	0.14	0.2
1	0.24	0.56	0.8
Pi	0.3	0.7	1

 

По условию нормировки . Сделаем проверку:

 

 

Условие нормировки выполняется.

б) Законы распределения отдельных дискретных случайных величин, входящих в систему, получим из закона распределения дискретной системы случайных величин (см. табл. 2.2). Возможные значения случайных величин x и h известны, найдем соответствующие им вероятности. Для случайной величины x вероятности возможных значений определяются по формуле

 

,

 

т.е. суммируем вероятности «по столбцам»:

 

 

Аналогично для случайной величины h используем формулу

 

,

 

т.е. суммируем вероятности «по строкам»:

 

 

Законы распределения случайных величин x и h представим в виде ряда распределения для каждой величины (табл. 2.3, 2.4).

 

Таблица 2.3

01
0.30.7

 

Таблица 2.4

01
0.20.8

 

в) Условным законом распределения случайной величины x при условии, что величина h приняла определенное значение , называется совокупность возможных значений величины x и соответствующих этим значениям условных вероятностей , определяемых по формуле

 

. (1)

Условный закон распределения случайной величины x при условии, что величина h приняла значение, равное 1, находим по формуле (1), полагая h =0:

 

.

 

Тогда

 

 

Запишем условный закон распределения случайной величины x в виде ряда распределения (табл. 2.5).

 

Таблица 2.5

01
0.30.71

 

Используя данные табл. 2.5 и формулу условного математического ожидания случайной величины x при условии, что величина h приняла определенное значение :

 

 

вычислим условное математическое ожидание :

 

г) Установить зависимость или независимость случайных величин x и h, входящих в систему , можно, проверив необходимое и достаточное условие независимости

 

.

 

Так как

 

,

 

взять, например,

 

 

следовательно, случайные величины x и h независимы.

д) Вычислим вероятности

 

 и >h):

>h)=

 

е) Найдем основные числовые характеристики дискретной системы случайных величин x и h. Используя табл. 2.3 и 2.4, найдем  по формулам:

 

 

Корреляционный момент вычислим с помощью данных табл. 2.2 и следующей формулы:

 

 

Коэффициент корреляции определяется как отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратичных отклонений случайных величин x и h:

 

 

Так как коэффициент корреляции , то можно утверждать, что случайные величины x и h линейно независимы.

 

Решение.

Изобразим треугольную область АВС (рис. 2.1).

а) Для нахождения константы а в выражении для плотности вероятности , воспользуемся условием нормировки

 

 

Имеем

 

,

 

и, следовательно,

 

.

 

Напоминание. Площадь треугольника, построенного на векторах  и , равна

 

 

Рис. 2.1

б) Вероятность попадания равномерно распределенной в области D случайной точки  в некоторую область , найдем по формуле:

 

.

 

Точка D(0; 4) (см. рис. 2.1), следовательно,

 

.

 

в) Зная совместную плотность вероятности , можно найти безусловную плотность вероятности любой из случайных величин, входящих в систему  по формулам:

 

 = ,

 = .

 

Для расстановки пределов интегрирования в последних формулах составим уравнения прямых АВ, ВС и АС.

Напоминания: 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки  и , имеет вид

 

 

2. Уравнение прямой в отрезках имеет вид

 

,

 

где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох,

b - ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Уравнение прямой АВ имеет вид:

 

, .

 

Уравнение прямой ВС имеет вид:

 

, .

 

Уравнение прямой АС: .

Треугольник АВС не является областью, стандартной относительно оси  (см. рис. 2.1). Линия входа - отрезок прямой АВ (). Линия выхода - отрезок прямой ВС (), если .

Таким образом,

 

 = , если

 

Итак,

 

 =

Плотность вероятности  должна удовлетворять условию нормировки

 

.

 

Для его проверки построим график  (рис. 2.2).

 

Рис. 2.2

 

Площадь треугольника, ограниченного графиком  и осью Ох, равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется.

Треугольник АВС является областью, стандартной относительно оси Ох (см. рис. 2.1). Линия входа - отрезок оси Оу (), линия выхода - отрезок прямой АВ (), если , и отрезок прямой ВС ()

Таким образом,

 

 = , если

 = , если .

 

Итак,

Для проверки условия нормировки  построим график  (рис. 2.3).

 

Рис. 2.3

 

Согласно рис. 2.3 площадь треугольника, ограниченного графиком  и осью Оу, равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется.

г) Условные плотности вероятности выражаются через безусловные по формулам:

 

 =  при ,

 =  при .

 

Следовательно,

 

Заметим, что условие нормировки  должно выполняться для любого фиксированного у, а условие нормировки  должно выполняться для любого фиксированного х.

д) Установить зависимость или независимость случайных величин x и h, входящих в систему , можно, сравнив условные ,  и безусловные ,  плотности, или, проверив необходимое и достаточное условие независимости = ∙ . В нашем случае  и , следовательно, x и h зависимы. Очевидно также, что × , что подтверждает сделанный вывод.

е) Вычислим основные числовые характеристики системы :

 

 = ;

 = .

 

Заметим, что если система случайных величин  распределена равномерно в треугольной области АВС, где А(х₁, y₁), B(х₂, y₂), C(х₃, y₃), то

 

 = ,  = ;

 

(, ) - так называемый центр рассеивания.

 

Проверим:

 

 = ,  = .

 

Для вычисления дисперсии  воспользуемся формулой

 

 = .

 

Вычислим второй начальный момент :

 

 = .

 

Тогда

 

 = .

 

Аналогично вычислим дисперсию случайной величины h:

 

 = .

 

Корреляционный момент , характеризующий связь между случайными величинами x и h, найдем по формуле

 

 = .

Для этого вычислим сначала второй смешанный начальный момент

 

 =

 

Тогда

 

 =

 

Безразмерной характеристикой связи между случайными величинами x и h служит коэффициент корреляции :

 

 = .

 

В рассматриваемом случае

 

 = .

 

Коэффициент корреляции  отражает «степень линейной зависимости» случайных величин x и h. Так как  = 0, x и h независимы.

ж) Условные математические ожидания случайных величин x и h, входящих в систему , найдем по формулам:

 

 =  и  = .

 

Имеем:

 

 =

 =

 

Заметим, что в случае равномерного распределения системы  функции  и  являются линейными.

з) Построим линии регрессии, определяемые уравнениями  и . В рассматриваемой задаче

 

,

 

Графики линий регрессии приведены на рис. 2.4.

 

Рис. 2.4

Заметим, что линия регрессии  графически изображает зависимость «в среднем» случайной величины x от возможных значений случайной величины h. Аналогично для .

Решение.

а) Нормальный закон распределения для системы двух случайных величин  имеет плотность вероятности вида

 

,

 

где - математические ожидания случайных величин, - средние квадратические отклонения,  - коэффициент корреляции. Поэтому плотность вероятности данной системы имеет вид

 

.

 

б) Область  является прямоугольником с осями, параллельными главным осям рассеивания (рис. 2.5). По формуле

 

,

 

где  - функция Лапласа, значения которой находятся по таблице, вычисляем вероятность попадания случайной точки  в данную область:

 

Рис 2.5

 

Область  является прямоугольником с осями, параллельными главным осям рассеивания и центром в центре рассеивания (рис. 2.6).

 

Рис. 2.6

 

Следовательно, для вычисления искомой вероятности целесообразно применение формулы

 

 

Область  является квадрантом с вершиной в точке (-3-2) (рис.2.7).

 

Рис. 2.7

 

Найдем вероятность попадания в область :

 

.

 

Область  является квадрантом с вершиной в центре рассеивания

 

Рис. 2.8

 

Искомую вероятность можно найти, исходя из симметричности поверхности распределения относительно плоскостей :

.

 

Вероятность попадания случайной точки  в эллипс рассеивания  (рис.2.9) вычисляем по соответствующей формуле:

 

,

 

где  - размеры полуосей эллипса рассеивания в единицах среднего квадратического отклонения по направлению главных осей рассеивания.

 

Рис. 2.9

случайный величина распределение дисперсия

в) Для определения вероятности  хотя бы одного попадания в область  при трех независимых опытах перейдем к противоположному событию, т.е. к тому, что в результате трех опытов случайная точка ни разу не окажется в области . Вероятность того, что случайная точка в результате опыта не попадет в область , равна

 

 

Затем находим вероятность того, что случайная точка при трех опытах ни разу не попадет в :

 

 

и, наконец, искомую вероятность:

 

 

г) Вероятность  того, что при первых двух опытах случайная точка окажется хотя бы один раз в области , а при третьем опыте - в области , равна по теореме умножения вероятностей произведению вероятности того, что при двух опытах случайная точка попадет хотя бы раз в область :

 

 

и вероятности попадания случайной точки в область :

 

.

 

Итак, искомая вероятность

 

.

 

д) Если событие в каждом опыте может наступить с вероятностью , то количество  опытов, которые необходимо произвести для того, чтобы с вероятностью  можно было утверждать, что данное событие произойдет хотя бы один раз, находится по формуле

 

.

 

По условию, , тогда

 

,

 

т.е. необходимо провести как минимум 1 опыта.

 

Решение.

а) Функция  на отрезке [-2; 0] возможных значений случайной величины x монотонно возрастает и, следовательно, имеет обратную функцию , которая монотонно возрастает на отрезке  и является дифференцируемой. Поэтому искомую плотность вероятности найдем по формуле

 

.

 

Подставив сюда  и учитывая, что

 

, ,

 

получим

 

, если .

 

Таким образом, случайная величина h = имеет следующую плотность вероятности:

 

 =

 

б) Графики функций ,  приведены на рис. 2.10, 2.11.

 

Рис. 2.10                           Рис. 2.11

 

Проверим условия нормировки для функций  и :

 

,

 

Имеем:

 

,

 

в) Используя формулу , находим искомую вероятность:

 

 

 

Однако этот же результат можно получить, применяя формулу

 

, где

,  (здесь учтено, что функция

 убывает на отрезке .

 

Таким образом,

 

.

 

Итак,

.

 

Решение.

а) Если функция  является плотностью вероятности случайной величины x, то она должна удовлетворять условию нормировки

 

.

 

Проверим его выполнение:

 

.

 

Строим график функции  (рис. 2.12).

 

Рис. 2.12

 

Замечание. Опущенные выкладки полного исследования функции  предлагается выполнить самостоятельно.

б) Способ 1. Для нахождения математического ожидания и дисперсии случайной величины  необязательно находить закон ее распределения; можно воспользоваться формулами

 

,

.

 

Учитывая, что , получим:

 

.

 

Замечание. Полученный результат  должен принадлежать интервалу возможных значений случайной величины h, т.е. .

Находим дисперсию:

 

.

 

Способ 2. Пользуясь определением математического ожидания функции случайного аргумента, его свойствами и указанными формулами (способ 1), получим:

 

.

Аналогично для дисперсии:

 

.

 

Итак, , .

 

Решение

а) Так как случайная величина x имеет равномерное распределение, а h - нормальное распределение, то их плотности вероятности определяются соответственно выражениями:

 

 

Следовательно,

 

 

б) Запишем числовые характеристики исходных случайных величин:

 

, , ,

 

Используя свойства математического ожидания и дисперсии функции случайных величин, получим:

 

;

 

Итак, искомые числовые характеристики

 

, .

 

в) Зная числовые характеристики исходных случайных величин, пользуясь свойствами и определением математического ожидания функции непрерывной случайной величины, имеем:

 

= = .

 

Таким образом, .

 

Решение

Согласно заданной корреляционной матрице имеем:

 

, , ;

, ,

 

Искомые числовые характеристики найдем, пользуясь свойствами математического ожидания, дисперсии и корреляционного момента:

 

а)

;

.

 

Искомые характеристики , .

 

б)

=

.

 

Таким образом,

 

Характеристическая функция

Задача 8. Для данной плотности вероятности  найти характеристическую функцию  и с её помощью вычислить математическое ожидание .

Решение.

I способ. Воспользуемся методами операционного исчисления. Так как данная плотность вероятности  является оригиналом, то характеристическая функция  для неё является изображением. Найдём его, учитывая свойство линейности преобразования Лапласа и соотношение

 

, где

 

II способ. Характеристическую функцию  можно найти и по определению:

 

 

Вычислим , используя формулу . Имеем:

 

Решение