Логарифмические частотные характеристики

 

Частотные характеристики достаточно сложно строить вручную. В 60-е годы, когда раз-вивалась классическая теория управления, не было мощных компьютеров, поэтому наиболь-шую популярность приобрели приближенные методы, с помощью которых можно было проек-тировать регуляторы с помощью ручных вычислений и построений. Один из таких подходов основа на использовании логарифмических частотных характеристик.

 

Вместо A (ω) было предложено использовать логарифмическую амплитудную частотных характеристику (ЛАЧХ):график,на котором по оси абсцисс откладывается десятичный лога-рифм частоты (lg ω), а по оси ординат – величина L_m (ω) = 20 lg A (ω), измеряемая в децибелах

 

(дБ). При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) по оси абсцисс также откладывается логарифм частоты lg ω.

 

Единицей отсчета на логарифмической оси частот является декада – диапазон, на котором частота увеличивается в 10 раз (а значение ее логарифма увеличивается на единицу). Вместе ЛАЧХ и ЛФЧХ называются логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой

(ЛАФЧХ) или диаграммой Боде.

 

Логарифмические характеристики обладают двумя ценными свойствами:

 

 

© К.Ю. Поляков, 2008

1) ЛАЧХ и ЛФЧХ для произведения W ₁ (s) W ₂ (s) вычисляются как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев:

 

20 lg A (ω) = 20 lg A 1 (ω) + 20 lg A 2 (ω);	(37)
φ (ω)= φ 11(ω)+ φ 2(ω);	(38)

2) в области высоких и низких частот ЛАЧХ асимптотически приближаются к прямым, наклон которых составляет ± 20 дБ/дек (децибел на декаду), ± 40 дБ/дек и т.д.

 

В классической теории управления хорошо разработаны методы анализа и синтеза систем на основе асимптотических ЛАЧХ, которые представляют собой ломаные линии и легко стро-ятся вручную. C появлением компьютерных средств расчета практическая ценность ЛАФЧХ несколько снизилась, однако они по сей день остаются простейшим инструментом прикидоч-ных расчетов для инженера.

 

ω)
(
m	-20
L
	-40	-1
ω)	-45
φ(
	-90	-1
			ω

На рисунке показаны точная (сплошная синяя линия) и асимптотическая (штриховая красная линия) ЛАФЧХ для звена первого порядка с передаточной функцией

 

W (s)= _Ts ¹₊₁при T =1с.

Первая асимптота, определяющая поведение ЛАЧХ на низких частотах, имеет нулевой на-клон, потому что звено относится к классу позиционных звеньев, имеющих постоянный ненуле-вой статический коэффициент усиления, то есть

 

W (0)=1≠0.

 

Если W (0) = 0, передаточная функция содержит множитель s^k (k > 0), который соответ-

 

ствует производной порядка k. В этом случае наклон ЛАЧХ на низких частотах равен k ⋅20дБ/дек.

 

Если W (0) = ∞, звено содержит один или несколько интеграторов, то есть в знаменателе

 

есть сомножитель s^k. Тогда наклон ЛАЧХ на низких частотах равен − k ⋅20 дБ/дек.

Наклон ЛАЧХ на высоких частотах определяется разностью степеней числителя и зна-менателя передаточной функции. Если числитель имеет степень m, а знаменатель – степень n, то наклон последней асимптоты равен 20 ⋅(m − n) дБ/дек. В нашем примере m − n = 0 −1 = −1.

 

Поэтому вторая асимптота, определяющая свойства звена на высоких частотах, имеет наклон − 20 дБ/дек, то есть, за одну декаду значение уменьшается на 20 дБ (проверьте по графику!).

 

© К.Ю. Поляков, 2008

 

Типовые динамические звенья

 

Обычно система управления состоит из отдельных блоков, каждый из которых описыва-ется уравнениями низкого порядка (чаще всего – первого или второго). Для понимания работы системы в целом желательно хорошо представлять, как ведут себя ее отдельные элементы. Кроме того, при построении ЛАФЧХ сложной системы передаточную функцию разбивают на простейшие сомножители

 

W (s) = W ₁ (s) ⋅ W ₂ (s)...⋅ W_N (s)

и далее, воспользовавшись свойствами ЛАФЧХ, строят характеристики для всей системы как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев.

 

Усилитель

 

Звенья, имеющие конечный ненулевой коэффициент усиления постоянного сигнала, то есть W (0) = k ≠ 0, называются позиционными. Это значит, что числитель и знаменатель переда-

 

точной функции имеют ненулевые свободные члены (постоянные слагаемые).

 

Простейшее позиционное звено – идеальный (безынерционный) усилитель. Его переда-точная функция W (s) = k. Строго говоря, он не является динамическим звеном, поскольку из-

 

менение выхода происходит мгновенно, сразу вслед за изменением входа. При действии на вход единичного ступенчатого сигнала 1 (t) (или дельта-функции δ (t)) на выходе будет такой

же сигнал, усиленный в k раз, поэтому переходная и импульсная характеристики звена равны h (t)= k (t >0)и w (t)= k ⋅ δ (t).

 

Если на вход усилителя действует синусоидальный сигнал, на выходе он усиливается в k раз без изменения фазы, поэтому амплитудная и фазовая частотная характеристики не зависят от частоты входного сигнала:

 

A (ω)= k, φ (ω)=0.

 

Апериодическое звено

 

Одно из самых часто встречающихся звеньев – апериодическое, которое описывается дифференциальным уравнением

T	dy (t)	+ y (t)= k ⋅ x (t)	(39)
dt

и имеет передаточную функцию W (s) = _Ts^k ₊₁. Здесь k – безразмерный коэффициент, а T > 0 –

постоянная, которая называется постоянной времени звена. Постоянная времени – размерная величина, она измеряется в секундах и характеризует инерционность объекта, то есть скорость его реакции на изменение входного сигнала.

 

В разд. 3.3 и 3.4 мы уже нашли переходную и весовую функции апериодического звена

 

t

k

t

h (t)= k 1

−exp

−

,

w (t)=

exp

−

.

T

T

T

Они показаны на рисунке:

 

© К.Ю. Поляков, 2008

h (t)

T

w (t)

k

k

t

T

t

Обратите внимание,

что предельное значение переходной характеристики равно k, а касатель-

ная к ней в точке t = 0 пересекается с линией установившегося значения при t = T. Переходная

и импульсная характеристики выходят на установившееся значение (с ошибкой не более 5%)

примерно за время 3 T. Эти факты позволяют определять постоянную времени эксперимен-

тально, по переходной характеристике звена.

Частотная характеристика определяется выражением

W (jω)=

k

=

k (1− Tjω )

=

k

−

jkTω

.

Tjω

+1

2 2

+1

T

2 2

+1

T

2 2

+1

T ω

ω

ω

Для каждой частоты ω значение W (jω) – это точка на комплексной плоскости. При изменении

ω от0

до

∞ получается кривая,

которая называется годографом Найквиста (диаграммой

Найквиста). В данном случае можно показать, что частотная характеристика – это полуокруж-

ность с центром в точке (0,5 k; 0) радиуса 0,5 k. Годограф начинается (на нулевой частоте) в

точке (k; 0)

и заканчивается в начале координат (при ω → ∞).

Im

20 lg k

− 20 дБ/дек

ω)

(

m

k

Re

L

ω → ∞

ω =0

ω

= ^1

c

T

ω)

-45

φ(

-90

Асимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются

на сопрягающей частоте ωc = ^1

. На низких частотах она имеет нулевой наклон (так как звено

T

позиционное), причем в этой области Lm ≈ 20 lg k.

На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен − 20 дБ/дек, так как степень знаменателя пере-

даточной функции на единицу больше степени ее числителя. Фазовая характеристика меняется

от 0 до −90°, причем на сопрягающей частоте ωc она равна − 45°.

Поскольку ЛАЧХ уменьшается на высоких частотах, апериодическое звено подавляет вы-

сокочастотные шумы, то есть обладает свойством фильтра низких частот.

Для сравнения рассмотрим также неустойчивое апериодическое звено, которое задается

уравнением

© К.Ю. Поляков, 2008

T

dy (t)

− y (t) = k ⋅ x (t)

(40)

dt

Как видим, все отличие от (39) –

только в знаке в левой части

h (t)

уравнения (плюс сменился на минус). Однако при этом кардиналь-

но меняются переходная и импульсная характеристики:

t

w (t)=

k

t

h (t)= k exp

−1,

exp

.

T

T

T

Обычно предполагается, что постоянная времени T > 0, тогда экс-

поненты в этих выражениях бесконечно возрастают с ростом t.

Поэтому звено названо «неустойчивым»: в покое оно находится в

неустойчивом равновесии, а при малейшем возмущении «идет

t

вразнос».

Интересно сравнить частотные характеристики устойчивого и неустойчивого апериодических звеньев с теми же коэффициентами усиления и постоянными времени.

 

20 lg k

Из этого графика видно, что ЛАЧХ неус-

− 20 дБ/дек

тойчивого звена точно совпадает с ЛАЧХ ана-

ω()

логичного устойчивого, но отрицательный фа-

m

зовый сдвиг значительно больше. Устойчивое

L

апериодическое звено относится к минимально-

ω

= ^1

фазовым звеньям,то есть его фаза по модулю

c

меньше, чем фаза любого звена с такой же ам-

T

-90

плитудной характеристикой. Соответственно,

неустойчивое звено – неминимально-фазовое.

ω)-135

К

неминимально-фазовымзвеньям от-

φ(

носятся все звенья, передаточные функции ко-

-180

торых имеют нули или полюса в правой полу-

плоскости, то есть, с положительной вещест-

венной частью. Для минимально-фазовых звеньев все нули и полюса передаточной функции

находятся в левой полуплоскости (имеют отрицательные вещественные части). Например, при

положительных постоянных времени T 1, T 2 и T 3

звено с передаточной функцией

W (s)=

T 1 s +1

(T s +1)(T s +1)

– минимально-фазовое, а звенья с передаточными функциями

W 1(s)=

T 1 s

+1

, W 1 (s) =

T 1 s −1

, W 3 (s)

=

T 1 s +1

(T 2 s +1)(T 3 s −1)

(T 2 s +1)(T 3 s +1)

(T 2 s −1)(T 3 s −1)

– неминимально-фазовые.

Колебательное звено

 

Колебательное звено – это звено второго порядка с передаточной функцией вида

 

W (s)=		k	,
b s ^2	+ b s +1

знаменатель которой имеет комплексно-сопряженные корни (то есть, b ₁² − 4 b ₂ < 0). Как извест-

 

но из теории дифференциальных уравнений, свободное движение такой системы содержит гар-монические составляющие (синус, косинус), что дает колебания выхода при изменении входно-го сигнала.

Несложно представить передаточную функцию колебательного звена в форме

 

								© К.Ю. Поляков, 2008
				k
			^W ^(s) ^= T 2 s 2 + 2 T ξs +1				(41)
где k	– коэффициент, T	– постоянная времени	(в секундах), ξ	–		параметр затухания
(0 < ξ <1). Постоянная времени определяет инерционность объекта,	чем она больше, тем мед-
леннее изменяется выход при изменении входа. Чем больше ξ, тем быстрее затухают колеба-
ния.
При ξ = 0 в (41) получается консервативное звено, которое дает незатухающие колебания
на выходе. Если ξ ≥1, модель (41) представляет апериодическое звено второго порядка, то есть
последовательное соединение двух апериодических звеньев.
Колебательное звено относится к позиционным звеньям, его статический коэффициент
усиления равен W (0) = k.
Переходная и импульсная характеристики отличаются выраженной колебательностью,
особенно при малых значениях параметра затухания ξ. На следующих двух графиках синие
линии соответствуют ξ = 0,5, а красные – ξ = 0,25.
	h (t)	ξ =0,25		w (t)
			ξ =0,25
	k					ξ =0,5
		ξ =0,5
									t
			t
Асимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются
на сопрягающей частоте ωc	= ^1. На низких частотах она имеет нулевой наклон (так как звено
			T
позиционное), причем в этой области Lm ≈ 20 lg k.
На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен
− 40 дБ/дек,	так как степень знаменателя пе-	20 lg k				− 40 дБ/дек
редаточной функции на два больше степени ее	ω)
числителя. Фазовая характеристика меняется	(
	m
L
от 0 до −180°, причем на сопрягающей часто-
те ωc	она равна −90°.					ω		= ^1
При значениях ξ < 0,5	ЛАЧХ имеет так				c
				T
называемый «горб» в районе сопрягающей
частоты, причем его высота увеличивается с	φ ω()
уменьшением ξ. Это означает, что при часто-	-90
те входного сигнала, равной ωc, наблюдается
резонанс,то есть частота возмущения совпада-	-180
ет с частотой собственных колебаний системы.

В предельном случае при ξ = 0 (консервативное звено) ЛАЧХ терпит разрыв (обращается

 

в бесконечность) на частоте ω_c, при таком входе амплитуда колебаний неограниченно растет и на практике объект разрушается.

 

 

© К.Ю. Поляков, 2008

Интегрирующее звено

 

Простейший пример интегрирующего звена – ванна, в которую набирается вода. Входной сигнал – это поток воды через кран, выход системы – уровень воды в ванне. При поступлении воды уровень растет, система «накапливает» (интегрирует) входной сигнал.

 

Интегрирующее звено описывается уравнением

^dy ^(t) = k ⋅ x (t),	(42)
dt
которому соответствует передаточная функция W (s) = ^k	. Решение уравнения (42) дает
	s
y (t)= y (0)+ k ∫ ^t	x (τ) dτ.
Используя это решение для единичного скачка (x (t) =1	при t ≥ 0) при нулевых начальных ус-

 

ловиях (y (0) = 0), получаем линейно возрастающую переходную характеристику: h (t)= k ⋅ t.

 

Для того, чтобы найти импульсную характеристику, вспомним, что интеграл от дельта-функции на любом интервале, включающем t = 0, равен 1. Поэтому w (t) = k (при t ≥ 0).

h (t)	w (t)
	k
		tg α = k
								t
			t
	Частотная	характеристика	интегрирующего	звена	определяется	формулой

W (jω)= _j^k_ω = − j _ω^k. Можно показать,что его логарифмическая амплитудная частотная харак-

теристика – это прямая с наклоном − 20 дБ/дек. На низких частотах усиление максимально, теоретически на частоте ω = 0 оно равно бесконечности. Высокие частоты, наоборот, подавля-ются интегратором.

ω)		20 lg k	− 20 дБ/дек
(
m
L
		ω =1	ω = k

 

φ(ω)

 

 

-90

 

-180

 

На частоте ω =1 значение ЛАЧХ равно 20 lg k, а при ω = k ЛАЧХ обращается в нуль, посколь-ку W (jω) =1. Фазовая характеристика φ (ω) = −90° – говорит о постоянном сдвиге фазы на всех частотах.

 

© К.Ю. Поляков, 2008

Дифференцирующие звенья

 

Дифференцирующее звено дает на выходе производную входного сигнала. Уравнение идеального дифференцирующего звена y (t) = k ^dx_dt ^(t), его операторная запись y (t) = k ⋅ p x (t), а

передаточная функция W (s) = k ⋅ s.

 

Известно, что производная единичного ступенчатого сигнала 1 (t) в точке t = 0 – это дельта-функция δ (t). Поэтому переходная и весовая функции дифференцирующего звена

 

h (t)= kδ (t), w (t)= k ^{dδ (t)}. dt

Это физически нереализуемые функции, так как дельта-функцию и ее производную, имеющие бесконечные значения, невозможно получить на реальном устройстве. Поэтому идеальное диф-ференцирующее относится к физически нереализуемым звеньям.

 

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика дифференцирующего звена – прямая с наклоном 20 дБ/дек, пересекающая ось абсцисс L_m (ω) = 0 на частоте ω = ¹ _k. При