Логарифмические частотные характеристики


 

Частотные характеристики достаточно сложно строить вручную. В 60-е годы, когда раз-вивалась классическая теория управления, не было мощных компьютеров, поэтому наиболь-шую популярность приобрели приближенные методы, с помощью которых можно было проек-тировать регуляторы с помощью ручных вычислений и построений. Один из таких подходов основа на использовании логарифмических частотных характеристик.

 

Вместо A(ω) было предложено использовать логарифмическую амплитудную частотных характеристику (ЛАЧХ):график,на котором по оси абсцисс откладывается десятичный лога-рифм частоты ( lgω ), а по оси ординат – величина Lm (ω) = 20 lg A(ω) , измеряемая в децибелах

 

(дБ). При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) по оси абсцисс также откладывается логарифм частоты lgω .

 

Единицей отсчета на логарифмической оси частот является декада – диапазон, на котором частота увеличивается в 10 раз (а значение ее логарифма увеличивается на единицу). Вместе ЛАЧХ и ЛФЧХ называются логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой

(ЛАФЧХ) или диаграммой Боде.

 

Логарифмические характеристики обладают двумя ценными свойствами:


 

 


© К.Ю. Поляков, 2008

1) ЛАЧХ и ЛФЧХ для произведения W1 (s)W2 (s) вычисляются как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев:

 

20 lg A(ω) = 20 lg A1 (ω) + 20 lg A2 (ω) ; (37)
φ(ω)= φ11(ω)+φ2(ω) ; (38)

2) в области высоких и низких частот ЛАЧХ асимптотически приближаются к прямым, наклон которых составляет ± 20 дБ/дек (децибел на декаду), ± 40 дБ/дек и т.д.

 

В классической теории управления хорошо разработаны методы анализа и синтеза систем на основе асимптотических ЛАЧХ, которые представляют собой ломаные линии и легко стро-ятся вручную. C появлением компьютерных средств расчета практическая ценность ЛАФЧХ несколько снизилась, однако они по сей день остаются простейшим инструментом прикидоч-ных расчетов для инженера.

 

             
ω)              
(              
m -20            
L            
  -40 -1  
         
             
ω) -45            
φ(            
             
  -90 -1  
         
      ω        

На рисунке показаны точная (сплошная синяя линия) и асимптотическая (штриховая красная линия) ЛАФЧХ для звена первого порядка с передаточной функцией

 

W (s)= Ts1+1при T =1с.

Первая асимптота, определяющая поведение ЛАЧХ на низких частотах, имеет нулевой на-клон, потому что звено относится к классу позиционных звеньев, имеющих постоянный ненуле-вой статический коэффициент усиления, то есть



 

W (0)=1≠0.

 

Если W (0) = 0 , передаточная функция содержит множитель sk ( k > 0 ), который соответ-

 

ствует производной порядка k . В этом случае наклон ЛАЧХ на низких частотах равен k ⋅20дБ/дек.

 

Если W (0) = ∞ , звено содержит один или несколько интеграторов, то есть в знаменателе

 

есть сомножитель sk . Тогда наклон ЛАЧХ на низких частотах равен − k ⋅20 дБ/дек.

Наклон ЛАЧХ на высоких частотах определяется разностью степеней числителя и зна-менателя передаточной функции. Если числитель имеет степень m , а знаменатель – степень n , то наклон последней асимптоты равен 20 ⋅(mn) дБ/дек. В нашем примере mn = 0 −1 = −1.

 

Поэтому вторая асимптота, определяющая свойства звена на высоких частотах, имеет наклон − 20 дБ/дек, то есть, за одну декаду значение уменьшается на 20 дБ (проверьте по графику!).


 


© К.Ю. Поляков, 2008

 

Типовые динамические звенья

 

Обычно система управления состоит из отдельных блоков, каждый из которых описыва-ется уравнениями низкого порядка (чаще всего – первого или второго). Для понимания работы системы в целом желательно хорошо представлять, как ведут себя ее отдельные элементы. Кроме того, при построении ЛАФЧХ сложной системы передаточную функцию разбивают на простейшие сомножители

 

W (s) = W1 (s) ⋅W2 (s)...⋅WN (s)

и далее, воспользовавшись свойствами ЛАФЧХ, строят характеристики для всей системы как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев.

 

Усилитель

 

Звенья, имеющие конечный ненулевой коэффициент усиления постоянного сигнала, то есть W (0) = k ≠ 0 , называются позиционными. Это значит, что числитель и знаменатель переда-

 

точной функции имеют ненулевые свободные члены (постоянные слагаемые).

 

Простейшее позиционное звено – идеальный (безынерционный) усилитель. Его переда-точная функция W (s) = k . Строго говоря, он не является динамическим звеном, поскольку из-

 

менение выхода происходит мгновенно, сразу вслед за изменением входа. При действии на вход единичного ступенчатого сигнала 1(t) (или дельта-функции δ(t) ) на выходе будет такой

же сигнал, усиленный в k раз, поэтому переходная и импульсная характеристики звена равны h(t)= k (t >0)и w(t)= k δ(t) .

 

Если на вход усилителя действует синусоидальный сигнал, на выходе он усиливается в k раз без изменения фазы, поэтому амплитудная и фазовая частотная характеристики не зависят от частоты входного сигнала:

 

A(ω)= k , φ(ω)=0.

 

Апериодическое звено

 

Одно из самых часто встречающихся звеньев – апериодическое, которое описывается дифференциальным уравнением

T dy(t) + y(t)= k x(t) (39)  
dt  
       

и имеет передаточную функцию W (s) = Tsk+1 . Здесь k – безразмерный коэффициент, а T > 0 –

постоянная, которая называется постоянной времени звена. Постоянная времени – размерная величина, она измеряется в секундах и характеризует инерционность объекта, то есть скорость его реакции на изменение входного сигнала.

 

В разд. 3.3 и 3.4 мы уже нашли переходную и весовую функции апериодического звена

 

      t     k     t  
h(t)= k 1 −exp     , w(t)=   exp   .  
  T    
      T         T  

Они показаны на рисунке:


 


                                        © К.Ю. Поляков, 2008  
h(t) T                   w(t)                
  k                                    
                        k                
            t           T       t  
Обратите внимание, что предельное значение переходной характеристики равно k , а касатель-  
ная к ней в точке t = 0 пересекается с линией установившегося значения при t = T . Переходная  
и импульсная характеристики выходят на установившееся значение (с ошибкой не более 5%)  
примерно за время 3T . Эти факты позволяют определять постоянную времени эксперимен-  
тально, по переходной характеристике звена.                          
Частотная характеристика определяется выражением                
      W ()=   k   = k(1−Tjω) =   k     jkTω .  
      Tjω +1 2 2 +1 T 2 2 +1 T 2 2 +1  
          T ω   ω   ω    
Для каждой частоты ω значение W ( ) – это точка на комплексной плоскости. При изменении  
ω от0 до ∞ получается кривая, которая называется годографом Найквиста (диаграммой  
Найквиста). В данном случае можно показать, что частотная характеристика – это полуокруж-  
ность с центром в точке (0,5k; 0) радиуса 0,5k . Годограф начинается (на нулевой частоте) в  
точке (k; 0) и заканчивается в начале координат (при ω → ∞ ).            
Im               20 lg k                   − 20 дБ/дек  
                ω)                        
                                         
                  (                        
                  m                      
          k Re   L                        
                                     
ω → ∞     ω =0                     ω   = 1    
                              c    
                                    T    
                                       
                                         
                ω) -45                      
                φ(                      
                                         
                  -90                      
Асимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются  
на сопрягающей частоте ωc = 1 . На низких частотах она имеет нулевой наклон (так как звено  
      T                                  
позиционное), причем в этой областиLm ≈ 20 lg k .                      
На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен − 20 дБ/дек, так как степень знаменателя пере-  
даточной функции на единицу больше степени ее числителя. Фазовая характеристика меняется  
от 0 до −90° , причем на сопрягающей частоте ωc она равна − 45°.        
Поскольку ЛАЧХ уменьшается на высоких частотах, апериодическое звено подавляет вы-  
сокочастотные шумы, то есть обладает свойством фильтра низких частот.  
Для сравнения рассмотрим также неустойчивое апериодическое звено, которое задается  
уравнением                                        
                                         


                        © К.Ю. Поляков, 2008  
          T dy(t) y(t) = kx(t)   (40)  
               
            dt                
Как видим, все отличие от (39) – только в знаке в левой части h(t)    
уравнения (плюс сменился на минус). Однако при этом кардиналь-      
но меняются переходная и импульсная характеристики:      
  t     w(t)= k t        
h(t)= k exp     −1 ,     exp   .      
  T        
  T         T        
Обычно предполагается, что постоянная времени T > 0 , тогда экс-      
поненты в этих выражениях бесконечно возрастают с ростом t .      
Поэтому звено названо «неустойчивым»: в покое оно находится в      
неустойчивом равновесии, а при малейшем возмущении «идет   t  
вразнос».                        

Интересно сравнить частотные характеристики устойчивого и неустойчивого апериодических звеньев с теми же коэффициентами усиления и постоянными времени.

 

20 lg k               Из этого графика видно, что ЛАЧХ неус-  
        − 20 дБ/дек   тойчивого звена точно совпадает с ЛАЧХ ана-  
ω()               логичного устойчивого, но отрицательный фа-  
m               зовый сдвиг значительно больше. Устойчивое  
L                
                апериодическое звено относится к минимально-  
  ω   = 1       фазовым звеньям,то есть его фаза по модулю  
  c       меньше, чем фаза любого звена с такой же ам-  
      T        
-90              
              плитудной характеристикой. Соответственно,  
                неустойчивое звено – неминимально-фазовое.  
ω)-135               К неминимально-фазовымзвеньям от-  
φ(               носятся все звенья, передаточные функции ко-  
                 
-180               торых имеют нули или полюса в правой полу-  
              плоскости, то есть, с положительной вещест-  
                 
венной частью. Для минимально-фазовых звеньев все нули и полюса передаточной функции  
находятся в левой полуплоскости (имеют отрицательные вещественные части). Например, при  
положительных постоянных времени T1 , T2 и T3 звено с передаточной функцией  
            W (s)=   T1s +1          
            (T s +1)(T s +1)        
                       
– минимально-фазовое, а звенья с передаточными функциями      
W1(s)= T1s +1   , W1 (s) =   T1s −1   , W3 (s) = T1s +1  
(T2 s +1)(T3s −1) (T2 s +1)(T3s +1) (T2 s −1)(T3s −1)  
         
– неминимально-фазовые.                    

Колебательное звено

 

Колебательное звено – это звено второго порядка с передаточной функцией вида

 

W (s)=   k ,  
b s2 + b s +1    
     

знаменатель которой имеет комплексно-сопряженные корни (то есть, b12 − 4b2 < 0 ). Как извест-

 

но из теории дифференциальных уравнений, свободное движение такой системы содержит гар-монические составляющие (синус, косинус), что дает колебания выхода при изменении входно-го сигнала.

Несложно представить передаточную функцию колебательного звена в форме


 


                © К.Ю. Поляков, 2008  
        k            
      W (s) = T 2 s2 + 2Tξs +1       (41)  
где k – коэффициент, T – постоянная времени секундах), ξ   параметр затухания  
( 0 < ξ <1). Постоянная времени определяет инерционность объекта, чем она больше, тем мед-  
леннее изменяется выход при изменении входа. Чем больше ξ , тем быстрее затухают колеба-  
ния.                    
При ξ = 0 в (41) получается консервативное звено, которое дает незатухающие колебания  
на выходе. Если ξ ≥1 , модель (41) представляет апериодическое звено второго порядка, то есть  
последовательное соединение двух апериодических звеньев.          
Колебательное звено относится к позиционным звеньям, его статический коэффициент  
усиления равен W (0) = k .                
Переходная и импульсная характеристики отличаются выраженной колебательностью,  
особенно при малых значениях параметра затухания ξ . На следующих двух графиках синие  
линии соответствуют ξ = 0,5 , а красные – ξ = 0,25 .            
  h(t) ξ =0,25   w(t)          
      ξ =0,25      
               
                 
  k         ξ =0,5      
    ξ =0,5            
                   
                t  
    t              
Асимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются  
на сопрягающей частоте ωc = 1 . На низких частотах она имеет нулевой наклон (так как звено  
      T              
позиционное), причем в этой областиLm ≈ 20 lg k .            
На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен              
− 40 дБ/дек , так как степень знаменателя пе- 20 lg k       − 40 дБ/дек  
редаточной функции на два больше степени ее ω)          
числителя. Фазовая характеристика меняется (          
  m          
L          
от 0 до −180° , причем на сопрягающей часто-              
те ωc она равна −90° .         ω   = 1  
При значениях ξ < 0,5 ЛАЧХ имеет так       c  
        T  
         
называемый «горб» в районе сопрягающей            
             
частоты, причем его высота увеличивается с φ ω()            
уменьшением ξ . Это означает, что при часто- -90          
те входного сигнала, равной ωc , наблюдается              
резонанс,то есть частота возмущения совпада- -180          
ет с частотой собственных колебаний системы.              

В предельном случае при ξ = 0 (консервативное звено) ЛАЧХ терпит разрыв (обращается

 

в бесконечность) на частоте ωc , при таком входе амплитуда колебаний неограниченно растет и на практике объект разрушается.


 

 


© К.Ю. Поляков, 2008

Интегрирующее звено

 

Простейший пример интегрирующего звена – ванна, в которую набирается вода. Входной сигнал – это поток воды через кран, выход системы – уровень воды в ванне. При поступлении воды уровень растет, система «накапливает» (интегрирует) входной сигнал.

 

Интегрирующее звено описывается уравнением

dy(t) = kx(t) , (42)
dt    
которому соответствует передаточная функция W (s) = k . Решение уравнения (42) дает
  s  
y(t)= y(0)+ k t x(τ).
   
Используя это решение для единичного скачка ( x(t) =1 при t ≥ 0 ) при нулевых начальных ус-

 

ловиях ( y(0) = 0 ), получаем линейно возрастающую переходную характеристику: h(t)= k t .

 

Для того, чтобы найти импульсную характеристику, вспомним, что интеграл от дельта-функции на любом интервале, включающем t = 0 , равен 1. Поэтому w(t) = k (при t ≥ 0 ).

h(t) w(t)    
     
  k    
  tgα = k              
                t  
    t        
  Частотная характеристика интегрирующего звена определяется формулой  
                       

W ()= jkω = − j ωk .Можно показать,что его логарифмическая амплитудная частотная харак-

теристика – это прямая с наклоном − 20 дБ/дек. На низких частотах усиление максимально, теоретически на частоте ω = 0 оно равно бесконечности. Высокие частоты, наоборот, подавля-ются интегратором.

ω)   20 lg k − 20 дБ/дек  
     
(      
m    
L      
       
    ω =1 ω = k  
       


 

φ(ω)

 

 

-90

 

-180


 

На частоте ω =1 значение ЛАЧХ равно 20 lg k , а при ω = k ЛАЧХ обращается в нуль, посколь-ку W ( ) =1 . Фазовая характеристика φ(ω) = −90° – говорит о постоянном сдвиге фазы на всех частотах.


 


© К.Ю. Поляков, 2008

Дифференцирующие звенья

 

Дифференцирующее звено дает на выходе производную входного сигнала. Уравнение идеального дифференцирующего звена y(t) = k dxdt(t) , его операторная запись y(t) = kp x(t) , а

передаточная функция W (s) = ks .

 

Известно, что производная единичного ступенчатого сигнала 1(t) в точке t = 0 – это дельта-функция δ(t) . Поэтому переходная и весовая функции дифференцирующего звена

 

h(t)=(t), w(t)= k dδ(t). dt

Это физически нереализуемые функции, так как дельта-функцию и ее производную, имеющие бесконечные значения, невозможно получить на реальном устройстве. Поэтому идеальное диф-ференцирующее относится к физически нереализуемым звеньям.

 

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика дифференцирующего звена – прямая с наклоном 20 дБ/дек, пересекающая ось абсцисс Lm (ω) = 0 на частоте ω = 1k . При









Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. Обратная связь