Модели в пространстве состояний

 

Для того, чтобы было легче исследовать модель объекта, желательно привести ее к неко-торому стандартному виду, для которого уже есть готовые общие решения. Таким «стандар-том» в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка,

которая называется нормальной формой Коши.

 

Рассмотрим снова модель электродвигателя, считая, что M _H (t) = 0 (нагрузки нет). Вспом-нив, что ω (t) = θ ^&(t), можно записать (12) в виде системы

θ ^&(t)= ω (t)

 

ω &(t)= − ^k_J ^{1 k}_R ²⋅ ω (t)+ _J^{k 1} _R ⋅ u (t)

Эта система дифференциальных уравнений первого порядка быть записана в матричной форме:

θ ^&(t)

θ (t)

k k

+

k

⋅ u (t)

ω &

(t)

=

−

^⋅ ω (t)

(13)

J R

^J R

Значения θ (t) и ω (t) определяют состояние двигателя в момент времени t. Это значит, что зная их значения в некоторый момент времени t ₀ и входной сигнал u (t) при всех t ≥ t ₀

 

можно рассчитать поведение объекта для любого последующего момента. При этом предыду-щие значения θ (t), ω (t) и u (t) (при t < t ₀) не играют никакой роли. Поэтому θ (t) и ω (t) назы-

ваются переменными состояния, а вектор ^{θ (t)} – вектором состояния.

 

ω (t)

 

В теории управления принято обозначать вектор состояния через x (t), вход объекта (сиг-нал управления) – через u (t). Тогда модель (13) может быть записана в виде

 

где x (t)

 

стояния

 

&

(14)

x (t)= A ⋅ x (t)+ B ⋅ u (t)

θ (t)

,

A =

−

k k

и

B =

k

. Модель (14) связывает вход u (t)

и вектор со-

^= ω (t)

^0

J R

J R

x (t),поэтому она называется моделью вход-состояние.

 

© К.Ю. Поляков, 2008

Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение – уравне-ние выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y (t):

x &(t)= A ⋅ x (t)+ B ⋅ u (t)

(15)

 

y (t)= C ⋅ x (t)+ D ⋅ u (t)

 

Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Выходная координата для двигателя постоянного тока – это угол поворота вала:

y (t)= θ (t)=[1 0]⋅ ^{θ (t)}=[1 0]⋅ x (t),

ω (t)

 

так что C = [1 0] и D = 0. Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то C = [0 1].

 

С помощью модели (15), изменяя матрицы C и D, можно принять за выход любую ли-нейную комбинацию переменных состояния и входа. Во многих практических задачах выход – это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить.

 

Поскольку момент инерции J, сопротивление якоря R и коэффициенты k ₁ и k ₂ не зави-

 

сят от времени, матрицы A, B, C и D в модели (15) – постоянные. Такие объекты называются стационарными,в отличие от нестационарных объектов,параметры которых изменяются вовремени.

 

Запись моделей в единой форме (15) позволяет отвлечься от смысла переменных состоя-ния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разрабо-таны и реализованы в современных компьютерных программах.

Покажем, как уравнения вида (15) могут быть решены и чем удобна именно такая форма записи. Предположим, что мы знаем начальные условия, то есть вектор состояния x (0) при

t =0.Вспомним,что знание x (0)и входа u (t)при всех t >0дает возможность однозначно оп-

 

ределить дальнейшее поведение этого объекта.

 

Первое уравнение в (15) позволяет найти производную, то есть, скорость изменения век-тора состояния x (t) в любой момент времени. Будем считать, что при 0 ≤ t ≤ ∆ t, где ∆ t – ма-

 

лый интервал времени, эта производная не меняется. Тогда значение вектора состояния при t = ∆ t приближенно определяется формулой

 

x (∆ t)≈ x (0)+ x &(0)⋅∆ t = x (0)+[ A ⋅ x (0)+ B ⋅ u (0)]⋅∆ t,

 

то есть, его можно легко вычислить. Зная x (∆ t) и сигнал управления u (∆ t), находим выход

 

системы в тот же момент

 

y (∆ t)≈ C ⋅ x (∆ t)+ D ⋅ u (∆ t).

 

Эту методику можно применять и дальше, в конце второго интервала получаем x (2⋅∆ t)≈ x (∆ t)+ x &(∆ t)⋅∆ t = x (∆ t)+[ A ⋅ x (∆ t)+ B ⋅ u (∆ t)]⋅∆ t,

 

y (2⋅∆ t)≈ C ⋅ x (2⋅∆ t)+ D ⋅ u (2⋅∆ t).

 

Таким образом, можно (приближенно) рассчитать выход системы при всех t > 0. Конечно, точ-ность будет тем выше, чем меньше ∆ t, однако объем вычислений при этом также увеличится. Этот метод приближенного решения дифференциальных уравнения называется методом Эйле-ра. Так как мы не делали никаких предположений о постоянных матрицах A, B, C и D,его(как и другие, более совершенные методы) можно использовать без изменений для решения любых уравнений вида (15).

 

Переходная функция

 

Один из методов построения моделей «вход-выход» – определение реакции объекта на некоторый стандартный сигнал. Один из простейших сигналов – так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент t = 0. Формально этот сигнал определяется так:

 

0, t < 0 1 (t)=^≥

1, t 0

 

© К.Ю. Поляков, 2008

Реакция объекта на единичный скачок называется переходной функцией и обозначается h (t):

1(t)			h (t)
			1(t)		h (t)
		U
						t
		t

При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, то есть, имеет нулевые начальные условия. Это значит, что все его переменные состояния равны нулю и внутренняя энергия также нулевая.

 

Если начальные условия ненулевые, то для построения сигнала выхода при любом входе нужно использовать дифференциальные уравнения объекта или модель в пространстве состоя-ний. Это значит, что переходная характеристика дает меньше информации, чем исходные урав-нения.

 

Пусть модель объекта задана дифференциальным уравнением первого порядка:

 

T	dy (t)	+ y (t) = k ⋅ x (t),	(16)
dt

где k – безразмерный коэффициент, а T – некоторая постоянная, которая имеет размерность времени (измеряется в секундах). Найдем переходную характеристику этого звена. Решая урав-нение (16) при x (t) =1 (t > 0), получаем

 

y (t)= k + C 1			t
⋅exp	−		,
			T

где постоянная C ₁ должна определяться из начальных условий. Поскольку нас интересует пе-

реходная характеристика, начальные условия считаем нулевыми, то есть	y (0)=0,что дает
C 1= − k и поэтому
			t
h (t)= y (t)= k 1	− exp	−		.	(17)
			T
На рисунке показаны переходные характеристики (17)	при различных значениях параметра T,
который называется постоянной времени звена:

 

y

T =0,5 c

k

 

T =1 c

 

 

t

 

Видно, что при увеличении T выход y медленнее достигает установившегося значения, равно-

 

го k, то есть постоянная времени характеризует инерционность звена (16). Чем больше посто-янная времени, чем медленнее реагирует объект на управление и тем больше усилий нужно для того, чтобы перевести его в новое состояние.

 

Заметим, что ступенчатый сигнал легко получить на практике, поэтому переходную ха-рактеристику можно снять экспериментально.

 

© К.Ю. Поляков, 2008