Нормальный закон распределения вероятностей.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно выгодную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это наиболее часто встречающийся в практике закон распределения.

Главная особенность – он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

В теории вероятностей существует т.н. центральная предельная теорема из которой следует, что сумма большого числа независимых (или слабо зависимых)

 

случайных величин подчиненных каким угодно законом распределения (при условии что влияние каждой из них на всю сумму ничтожно мало), приближённо подчиняется нормальному закону.

 

Примеры: Ошибка измерения; может быть представлена как сумма весьма большого числа сравнительно малых слагаемых – элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависимый от условия окружающей среды.

Каким бы законом не подчинялись отдельные элементарные ошибки, сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Основное ограничение, слагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль. Если это условие не выполняется и одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию резко превалирующая другими, то закон распределения этой превалирующей ошибки наложит своё влияние на сумму и определит в основных чертах её закон распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности всегда.

 

Можно доказать что m_x – математическое ожидание σ_х – среднее квадратичное отклонение величины Х.

 

Кривая распределения имеет симметричный холмообразный вид..

Максимальная ордината соответствует точке х = m_x при х ± ∞ кривая асимметрически приближается к оси абсцисс.

 

 

Т.о. центром симметрии распределения является центр рассеивания m_x – изменение знака в формуле для плотности на обратный не меняет величины f (x).

Если изменять математическое ожидание, кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы.

Т.о. мат. ожидание характеризует положение распределения на оси абсцисс.

 

 

 

σ_х – среднеквадратическое отклонение характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. Это характеристика рассеивания. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна σ_х , при увеличении σ_х максимальная ордината уменьшается т.к. плоскость кривой распределения равна единице, то при увеличении кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс, напротив, при уменьшении σ_х кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков и становится более иглообразной.

 

σ₃ > σ₂ > σ₁

 

 

 

m_x = 0