Случайные величины в энергетике.

Функция распределения соответственно имеет вид

 

xi
F (x i)		0,7

Если случайная величина непрерывна, то и функция распределения этой случайной величины также непрерывна.

Для непрерывных случайных величин функция распределения может выглядеть так:

Плотность распределения вероятностей

Если функция распределения F (x) везде непрерывна, а следовательно и СВ Х непрерывна и имеет производную, то производная от функции распределения СВ называется плотностью распределения вероятностей непрерывной СВ Х.

График плотности f (x) называется кривой распределения.

 

 

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения по 2 отличиям от ФР.

 

 

Плотностью вероятности (или плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины Х называется производная функции распределения

 

по независимой переменой х.

 

Будем считать, что плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

 

Рассмотрим непрерывную СВ Х с плотностью распределения f(x) и элементарный участок dx, примыкающий к точке х.

 

Вероятность попадания случайной величины Х на элементарный участок dx равна

f (x) dx.

 

f (x) dx – элемент вероятности.

 

 

Выразим вероятность попадания случайной величины Х на отрезок от а до b через плотность распределения. Она равна сумме элементов вероятности на всём этом участке, т.е.

P (a ≤ X < b) = =

Геометрически P (a ≤ X < b) равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок.

 

Выразим функцию распределения через плотность.

По определению

 

F (x) = P (X< x) = P (- ∞ ≤ X < x)

 

отсюда имеем

 

 

Геометрически F (x) есть площадь кривой распределения, лежащая левее точки х.

 

 

 

Свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения – неотрицательная функция.

 

т.к. F (x) – неубывающая.

 

2.

Это следует из F (x) = и из того, что

 

 

 

 

3. F (x) – величина безразмерная

f (x) – имеет размерность, обратную размерности случайной величины, т.е.

 

Числовые характеристики случайных величин.

Функция или плотность распределения полностью определяет распределение случайной величины. Однако в ряде задач достаточно использовать более простые характеристики случайной величины.

Назначение числовых характеристик: в сжатой, компактной форме выразить существенные черты распределения.

Одной из таких характеристик является среднее значение случайной величины или математическое ожидание.

Правило трех сигм.

 

 

Отложим от m_x отрезки длиной σ и вычислим вероятность попадания случайной величины в каждый из них.

 

Т.о. случайная величина с вероятностью 0,9973 находится в интеграле [m_x - 3σ_x, m_x + 3σ_x].

Это значит, что для нормально распределенной случайной величины всё рассеивание (с точностью до долей процента) укладывается на участке m_x ± 3σ_x

Иначе, вероятность того, что отклонение случайной величины от математического ожидания превысит 3σ, практически равна 0, т.е. это событие считается практически невозможным событием (т.н. правило трёх сигм).

Т.о. зная σ и m_x, можно ориентировочно указать интервал возможных значений случайной величины.

Из правила трёх сигм вытекает также ориентировочный способ определения σ:

берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на 3.

 

Кроме нормального распределения и равномерного широко используют другие типы распределений случайных величин.

 

Случайные величины в энергетике.

Аппарат случайных событий, с которыми мы до сих пор имели дело, в современной теории вероятности не является основным, основным аппаратом является аппарат случайных величин. Понятие «случайной величины» является основным понятием современной теории вероятностей.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта со случайным исходом может принять то или другое значение.

Примеры случайных величин:

1) Опыт состоит в бросании двух монет, число гербов, которое при этом появится – случайная величина, которая может принимать значения: 0, 1, 2.

2) В группе 25 человек. Число не явившихся на занятие студентов – случайная величина, её возможные значения: 0,1,2,....,25.

3) Число включенных в данный момент электродвигателей в цеху - случайная величина.

Все приведенные в примерах случайные величины принадлежат к типу т.н. дискретных.

Дискретной называется такая случайная величина, возможные значения которой отделены друг от друга какими – то интервалами. На оси абсцисс эти значения изображаются отдельными точками.

Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой – то промежуток:

электрическая нагрузка кабельной линии P_кВт в любой момент времени;

отклонение напряжения на выводах электроприемника ∆ U в любой момент времени;

время работы какого– либо элемента электрической системы. между двумя отказами Т (наработка на отказ).

Значения таких случайных величин сплошь заполняют какие – то участки числовой оси. Границы этих участков, иногда бывают чёткими, а иногда – расплывчатыми неопределенными.

Возьмем промежуток времени между двумя отказами какого – то элемента электрической системы Т. Значения этой случайной величины сплошь заполняют какой – то участок числовой оси, нижняя граница этого участка чёткая - 0, а верхняя – расплывчатая, неопределенная, может быть найдена только в результате опыта; случайная величина электрическая нагрузка двигателя ¾ границы чёткие: 0 и Р_{max доп}.

Говоря о случайной величине, необходимо уточнять комплекс основныхусловий, при котором она принимает то или другое значение, например, случайная величина ¾ нагрузка группы электоприемников в период максимума ¾ в каком цеху?, в каком отделении?, на каком производстве?, в какую смену?.

В целях кратности изложения мы не всегда будем оговаривать этот комплекс условий, но о нём всегда необходимо помнить.

Условимся в дальнейшем случайные величины обозначить большими буквами латинского алфавита, а их возможные значения – соответствующими малыми.

Например, случайная величина X, её возможные значения х ₁, х ₂,…., х _n.

Не все значения случайной величины одинаково вероятны, среди них есть более и менее вероятные.

Законом распределения случайной величины называется любое правило, позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной, например, вероятность того, что она примет какое – то значение или попадёт в какой – то промежуток.

Закон распределения может иметь разные формы. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде т.н. ряда распределения т.е. таблицы, состоящей из 2-х строк: в верхней перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней – соответствующие им вероятности р₁, р₂, ….,р_n.

 

Значения x i случайной величины Х	x 1	x 2	…..	xn
Вероятности pi	p 1	p 2	…..	pn

 

Каждая вероятность p_i есть вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение x_i.

 

p_i = P (X = x_i), i = 1, …, n.

Сумма всех вероятностей p_i равна 1: p ₁ + p ₂ + …..+ р_n = 1, или , т.к. события Х = х_i , i= 1, 2,…, n образуют полную группу событий. Эта единица как – то распределена между значениями случайной величины, отсюда и термин «распределение».Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, прибегают к его графическому изображению. Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения

Для непрерывной случайной величины, значения которой сплошь заполняют какой – то промежуток оси абсцисс, т.е. имеющей бесчисленное множество возможных значений ряда распределения построить нельзя.

1. Нельзя указать, перечислить одно за другим все возможные значения непрерывной СВ. Действительно, какую бы пару значений мы не поставим рядам, между ними непременно найдутся ещё значения.

2. С другой стороны, пытаясь приписать какую – то вероятность каждому отдельному значению непрерывной СВ, мы удивляемся в том, что эта вероятность равна нулю.

Вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

 

Т.о. существуют возможные события, вероятности которых равны нулю, так же, как любая фигура обладает ненулевой площадью, хотя состоит из точек, площадь каждой из которых равна нулю. Вероятность попадания в каждую отдельную точку на числовой оси для непрерывной СВ величины равна 0.

Хотя для непрерывной СВ не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для дискретных величин, однако различные области возможных значений СВ не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует распределения вероятности хотя и не в том смысле что для дискретных. Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события Х = х, а вероятностью события

Х < х, где х – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события зависит от х, есть некоторая функция от х.

Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называется функция F (x) независимой переменой х, выражающая вероятность того события, что эта случайная величина Х примет значение меньше, чем х, или иначе: функцией распределения СВ Х называется вероятность неравенства Х < х, рассматриваемая как функция переменной х

 

F (x) = P (X < x), или F (x) = P (-∞ < X < x),

где переменная х принимает все значения на числовой оси -∞ < X < ∞ или х Î R (здесь R – множество вещественных чисел).

 

Функцию распределения F (x) иногда называют интегральной функцией распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайных величин, они существует для всех случайных величин, как дискретных так и непрерывных.

Пример: построим функцию распределения для дискретной случайной величины, ряд распределения которой имеет вид:

xi
pi	0,7	0,3

 

 

Зная ряд распределения дискретной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины.Действительно

 

F (x) = P (X < x) = P (X = x_i).

Здесь производится суммирование вероятностей всех возможных значений случайной величины Х, меньше чем х.