Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть система О ′ (ракета) движется со скоростью υ, а в ней летит вперёд пуля со скоростью и ′ (рис. 11.3). Тогда скорость пули и относительно неподвижной системы О (относительно Земли) будет такой:

и = ≠ и′ + υ, (11.3)

причём при любых и ′ и υ скорость и всегда будет меньше с. например,

а) пусть и ′ = с /2 и υ = с /2; тогда и = (4/5) с;

б) пусть и ′ = с и υ = с; тогда и = с.

И лишь при и ′<< с или при υ << с выполняется классический закон сложения скоростей: и ≈ и ′ + υ.

Отсюда следует, что скорость света с в вакууме является предельно достижимой скоростью в природе в любой системе отсчёта, и никакими способами её превзойти невозможно.

Основной закон релятивистской динамики

В любой инерциальной системе основной закон релятивистской динамики имеет тот же вид, что и классический второй закон Ньютона:

Δ р / Δ t = F,

где р = m υ = υ − релятивистский импульс тела.

Гравитационное красное смещение

Согласно общей теории относительности (ОТО), любая частица, обладающая энергией Е, имеет гравитационную массу m = E/c ² . Следовательно, фотон с энергией Е = h νбудет взаимодействовать с гравитационным полем как частица с массой

m _ф = h ν /c ² .

Это приведёт к тому, что при излучении, например, Солнцем, фотон, поднимаясь в гравитационном поле Солнца, затрачивает часть своей энергии на совершение работы против силы тяжести. При этом потеря энергии фотоном

−Δ Е _ф = −Δ(h ν) = А = , (11.4)

где G = 1/(15·10⁹) − гравитационная постоянная. Для Солнца ( = 7·10⁸ м, =2·10³⁰ кг) относительное «покраснение» фотона

≈ 2·10⁻⁶, (11.5)

(относительное увеличение длины волны Δλ/λ ≈ 2·10⁻⁶).

Эффект уменьшения частоты (увеличение длины волны) при удалении фотона от большой массы называется гравитационным красным смещением. Если звезда имеет очень большую плотность, например, как нейтронная звезда (ρ ~ 10¹⁸ кг/м³, R ~ 10 км ), то величина Δν/ν может быть очень заметной, порядка 0,01 или 0,1. А у чёрных дыр гравитация такая, что энергии фотона h ν вообще не хватит для её преодоления, т. е. −Δν/ν ≥ 1, и такая звезда уже не будет излучать свет. Из (11.5) видно, что фотон не сможет преодолеть гравитацию звезды массой М (−Δν/ν = 1) с радиуса

.

Вывод. Человек с горы видит стоящих внизу людей немножко красными, а сам он для людей снизу выглядит немножко голубым. Из формул (11.4) и (11.5) несложно оценить, − а на сколько именно произойдёт «покраснение» фотона при его подъёме на высоту горы в гравитационном поле Земли (масса Земли М_З = 6·10²⁴ кг, её радиус R_З = 6400 км).

Гравитационный коллапс

Звёзды зарождаются из газо-пылевых облаков (туманностей) внутри нашей галактики. Газ − в основном водород. Под действием гравитации происходит сжатие газа, образуется компактное облако. По мере дальнейшего уплотнения облака оно разогревается, так как его гравитационная энергия

W ≈ − GM ² / R

(М − масса шарового облака, R − его радиус), превращается в тепловую. Когда температура внутри шара достигает порядка 10 млн градусов, в нём начинаются термоядерные реакции − зажигается новая звезда (рис. 11.4 − 11.6).

Ядерным топливам нашего Солнца, как и подобных ему «обычных» звёзд, является водород, который в ядерных реакциях превращается в гелий:

+ → + е⁺ + энергия;

+ → + энергия;

+ → + 2 + энергия.

Исчерпав через несколько миллиардов лет водород, звёзда начинает сжигать гелий, превращая его в углерод с выделением огромной энергии:

+ + → + энергия.

При этом давление внутри звезды растёт, она расширяется в сотни раз, превращаясь в красный гигант или даже в сверхгигант (например, сверхгигант Бетельгейзе, или α-Ориона: R _α ≈ 300 млн км ≈ 400 , М _α ≈ 20 ).

Затем может «загореться» углерод. Ядерный ресурс звезды исчерпывается, когда все лёгкие элементы в недрах звезды превратятся в железо. Железо уже «не горит», т. е. ядра железа не могут превращаться в более тяжёлые ядра с выделением энергии. Звезда, лишённая источников энергии, охлаждается, давление в ней падает, и рано или поздно оно уже не может противостоять гравитационным силам. Звезда начинает сжиматься, её плотность возрастает, и итогом такого сжатия может стать одно из трёх состояний, в зависимости от исходной массы звезды.

1. Если масса звезды не превышает 1,5 массы Солнца, то сжатие звезды останавливается при средней плотности звёздного вещества 10⁹ кг/м³ и радиусе R ≈ ≈ 7000 км. Такие звёзды, называемые белыми карликами, излучают свет за счёт остатков своей тепловой энергии в течение нескольких сотен миллионов лет, затем остывают и становятся невидимыми.

2. Если масса звезды составляет 2−4 солнечных, то под действием гравитации такая звезда сжимается до размеров в 10-20 км. Плотность её вещества достигает ядерной: ρ ~ 10¹⁷…10¹⁸ кг/м³. Это самые плотные объекты во вселенной. При такой плотности происходит как бы «вдавливание» электронов атомов в ядра, и из слияния электронов с протонами образуются нейтроны, которые, уже беспрепятственно сближаясь друг с другом, образуют упаковку с ядерной (нейтронной) плотностью. Так возникает нейтронная звезда, или пульсар.

Нейтронные звёзды были открыты в 1967 году, когда с помощью радиотелескопов были зарегистрированы столь частые вспышки излучения (с периодом около 1 с), что они могли производиться только маленькими сверхплотными объектами. Впоследствии они были названы пульсарами.

Сейчас известно свыше ста пульсаров. Одни излучают только в радиодиапазоне, другие – во всех диапазонах, от радио- до гамма-. Большинство пульсаров имеют период вращения от 10 мс до 100 с. Один из самых «быстрых» пульсаров имеет период Т = 1,6 мс и находится от нас на расстоянии около 15000 св. лет. Его диаметр 10 км, а гравитация настолько велика, что даже при столь быстром вращении он не разваливается.

Частота вращения пульсаров исключительно стабильна – по крайней мере, до девятого знака – это одна секунда за 30 лет. Самые точные атомные часы, используемые сейчас как эталон времени, имеют относительную погрешность порядка 10^–14.

3. Если масса звезды достаточно велика, в 4−5 раз больше солнечной, то происходит так называемый гравитационный коллапс – неудержимое сжатие звезды до таких размеров и плотностей (ρ >2·10¹⁹ кг/м³), что её гравитационное поле уже не могут преодолеть не только никакие тела, но и кванты света: звезда превращается в чёрную дыру. Пока никакие теоретические расчёты не могут оценить ни размеры, ни плотность чёрной дыры, да и сами эти понятия внутри черной дыры теряют смысл, так как в сильных гравитационных полях изменяется геометрия пространства − оно становится неевклидовым (линейка не только будет изменять свою длину, но и станет «кривой»). Чёрные дыры проявляют себя только через гравитационное воздействие на соседние звёзды и через рентгеновское излучение падающего на них вещества (аккрецию).

Когда говорят о «размерах» чёрной дыры, то имеют в виду её гравитационный радиус (радиус сферы Шварцшильда)

,

где М – масса звезды, породившей чёрную дыру. Для этого радиуса вторая космическая скорость (т. е. скорость, необходимая для преодоления гравитации звезды) должна быть равна скорости света:

υ₂ = .

Всё, что находится под этим радиусом, преодолеть гравитацию чёрной дыры уже никогда не сможет.

 

 

 

 

Если бы наше Солнце, не теряя массы ( = 2·10³⁰ кг), начало сжиматься в чёрную дыру, то его гравитационный радиус r_g,был бы около 3 км. Для нашей же Земли (М _З = 6·10²⁴ кг) гравитационный радиус r_g = 8 мм.

Термин «чёрная дыра» был введён в 1968 году. Для описания свойств чёрных дыр необходимо в полной мере использовать общую теорию относительности Эйнштейна (ОТО). Предполагается, что сверхмассивные чёрные дыры имеются в ядрах галактик.

11.10. Аккреция

Температура поверхности некоторых пульсаров составляет десятки миллионов градусов, а их светимость в рентгеновском диапазоне в 10³ −10⁴ раз превышает полную светимость Солнца, несмотря на их маленькие размеры. Чем же вызвана столь высокая температура их поверхности?

Наблюдения показали, что многие пульсары – это не просто одиночные нейтронные звезды, а нейтронные компоненты двойных звезд. Другой компонентой является обычная звезда, как правило,− красный гигант. И они движутся по своим круговым орбитам вокруг их общего центра масс. Такие звёздные пары являются довольно тесными, находящимися на расстояниях, сравнимых с их радиусами. Это приводит к явлению, называемому аккрецией, – перетеканию вещества из одной компоненты в другую: нейтронная компонента своей мощной гравитацией высасывает вещество из своей соседки – обычной звезды (рис. 11.7). Скорость падения этого вещества на поверхность нейтронной звезды при этом очень большая, сравнимая со скоростью света. Её можно оценить по формуле, вытекающей из закона сохранения энергии:

υ ,

где М – масса нейтронной звезды, r – её радиус. Если принять

М = = 2·10³⁰ кг, r = 10 км, G = 1/(15·10⁹),

то скорость падения υ ≈ 1,5·10⁸ м/с = с /2! Падение вещества с такой скоростью вызывает, с одной стороны, сильный разогрев нейтронной звезды, а с другой, вследствие резкого торможения вещества при ударе о поверхность нейтронной звезды, – мощное тормозное рентгеновское излучение. Картина здесь аналогична той, которая наблюдается в рентгеновской трубке. Зная светимость нейтронной звезды (р ≈10³⁰ Дж/с), несложно подсчитать, что темп аккреции составляет порядка 10¹⁴ кг/с. В таком темпе обычная звезда может поставлять вещество своей маленькой нейтронной соседке в течение многих миллионов лет.

 

 

* ⁾ Это следует из равенств: d υ² = d (υ·υ) = 2(υ· d υ).