Закон сохранения импульса системы частиц

Определение. Импульсом системы частиц называется векторная сумма импульсов отдельных частиц:

р = ∑ р _i.

Поскольку при взаимодействии каждой пары частиц внутри системы силы взаимодействия равны и противоположны по направлению, то эти внутренние силы не могут изменить импульса системы. Импульс системы может измениться только под действие какой-то внешней силы F, причём, как и для одной частицы, скорость изменения импульса системы равна этой внешней силе (или векторной сумме всех внешних сил):

∑ F _внеш.≡ F.

Определение. Система частиц называется изолированной, если на неё не действуют никакие внешние силы, т. е. F = 0. В этом случае импульс системы не меняется: р = const. Это утверждение носит название закона сохранения импульса системы частиц.

Закон сохранения механической энергии системы частиц

Если в изолированной системе действуют только консервативные силы, т. е. нет, например, трения, приводящего к тепловым потерям, то полная механическая энергия этой системы остаётся постоянной:

Е = ∑(T_i + U_i) = const (без доказательства).

Это утверждение носит название закона сохранения энергии системы частиц.

 

 

Столкновение двух тел (удар)

При столкновении двух тел (ударе) они испытывают деформацию, и их кинетическая энергия частично или полностью переходит в энергию их упругой деформации, а также рассеивается в виде тепла и уносится звуком. Упругая энергия приводит к отскоку тел, т. е. вновь превращается в их кинетическую энергию, тепловая же и звуковая энергии, выражаемые в нагревании тел, необратимы.

Различают два основных типа ударов: абсолютно неупругий и абсолютно упругий.

Абсолютно неупругий удар

Это такой удар, после которого оба тела движутся как единое целое. При этом упругой деформации не возникает или же она очень мала и не приводит к отскоку, а кинетическая энергия тел частично или полностью превращается в тепловую. Поэтому при абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не выполняется, а выполняется только закон сохранения импульса:

m ₁ υ ₁ + m ₂ υ ₂ = (m ₁ + m ₂) u,

где m ₁ и m ₂ – массы тел, υ ₁ и υ ₂ − их скорости до удара, u – их общая скорость после удара (рис. 5.1). Отсюда

u = . (5.1)

Если векторы υ ₁ и υ ₂ лежат на одной оси (оси х), то в (5.1) следует подставлять только х -компоненты всех скоростей (с учётом их знаков, разумеется).

Замечание. После удара единое тело может ещё и вращаться, так что следовало бы добавить и закон сохранения момента импульса, позволяющий определить скорость вращения, но этот вариант рассматривать не будем.

Пример. Два шарика летят навстречу друг другу по оси х и происходит их прямой удар. Массы шариков m ₁ = 1 кг, m ₂ = 2 кг, их скорости υ₁ = 1 м/с (вправо), υ₂ = 2 м/с (влево). Найти их единую скорость шаров u_x после их абсолютно неупругого удара.

Решение. Для х -компонент скоростей: u = = −1 м/с.

Абсолютно упругий удар

Это такой удар, при котором кинетическая энергия сталкивающихся тел частично или полностью (т. е. без тепловых потерь) переходит в энергию их упругой деформации, а затем вновь возвращается в кинетическую энергию разлетающихся тел. При этом оба тела полностью восстанавливают свою форму. При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения как импульса, так и механической энергии.

Определить скорости тел после абсолютно упругого удара значительно сложнее, чем после абсолютно неупругого. Направления и скорости разлёта зависят от конкретной формы тал и от их взаимной ориентации при ударе. Кроме того, в результате удара они могут вращаться.

Рассмотрим подробно простейший вариант абсолютно упругого удара – прямой удар двух шаров. Удар называется прямым, если векторы их начальных скоростей υ ₁ и υ ₂ лежат на линии их центров. В противном случае удар называется косым (рис. 5.2). При косом ударе шары разлетаются под углом к исходным векторам υ ₁ и υ ₂. При прямом ударе шаров процесс происходит вдоль оси, соединяющей их центры (оси х), поэтому закон сохранения импульса можно записать в алгебраическом виде, т. е. только для х -компонент всех скоростей.

 

Итак, запишем законы сохранения импульса (для х -компонент) и энергии при прямом абсолютно упругом ударе двух шаров:

(5.2)

где υ₁ и υ₂ – х- компоненты скоростей шаров до удара, u ₁ и u ₂ – соответственно после удара, m ₁ и m ₂ – массы шаров. Пусть скорости υ₁ и υ₂, а также массы шаров – известны. Определим скорости u ₁ и u ₂ после удара. Для этого надо решить систему (5.2). Перегруппируем уравнения этой системы:

Разделим второе уравнение этой системы на первое и результат запишем совместно с первым:

Получилась система двух уравнений первой степени. Её решение имеет вид:

u ₁ = , u ₂ = .

При m ₁ = m ₂ , то u ₁ = υ₂, u ₂= υ₁, т. е. шары обмениваются скоростями.

Если m ₁ = 1 кг, υ₁ = 1 м/с, m ₂ = 2 кг, υ₂ = –2 м/с, то скорости разлёта шаров будут такими: u ₁ = – 3 м/с; u ₂ = 0, т. е. первый шар полетит назад со скоростью 3 м/с, а второй шар после удара остановится.

Центр масс

В любой системе частиц есть особая точка С, называемая центром масс. Её положение в выбранной системе координат определяется вектором

, (5.3)

где m_i и r _i − масса и радиус-вектор i -той частицы, − масса всей системы (рис. 5.3).

Векторное определение (5.3) эквивалентно трём скалярным, определяющим декартовы координаты центра масс:

Комментарий. Выражение означает, что х_С − это некоторое среднее х- координат всех частиц с весовыми множителями m _i. Если все массы m_i одинаковы, то х_С − это просто среднее арифметическое х- координат всех частиц: , где N – количество частиц в системе.

Пример 1. Найти центр масс системы двух частиц массами m ₁ = 1 кг и m ₂ = 1 кг, на расстоянии l = 1 м друг от друга.

Решение. Положим частицы на ось х, и пусть х ₁ = 0, х ₂ = l = 1 м. Тогда

м.

Для нахождения центра масс сплошного тела его надо разбить на малые частицы (например, кубики) массой dm = ρ dV, где ρ – плотность тела, dV – элементарный объём кубика. И пусть r – радиус-вектор этого кубика. Тогда правая часть (5.3) становится предельной суммой, т. е. интегралом по всему объёму V тела:

. (5.4)

Векторное соотношение (5.4), как и (5.3), эквивалентно трём скалярным.

Ясно. что центр масс всякого тела должен находиться где-то внутри выпуклого многогранника, охватывающего тело. Но вовсе не обязательно, чтобы он лежал в самŏм теле. Например, центры масс кольца и полукольца лежат вне этих тел.

Пример 2. Найти центр масс полушара радиусом R.

Решение. Очевидно, что центр масс полушара должен лежать где-то на его оси. Обозначим её осью х, положив х = 0 в центре основания полушара. Тогда, в соответствии с (5.4), получаем, что координата центра масс

.

Если нам удастся выразить элемент объёма dV как функцию х, то объёмный интеграл сведётся к обыкновенному. Для этого разобъём полушар на тонкие диски толщиной dx (рис. 5.4). На высоте х радиус такого диска r = , а его объём

dV = π r ² dx = π(R ² – x ²) dx.

Тогда, учитывая, что объём полушара V = (2/3)π R ³, получаем:

.