Квантовая механика, состояние микрочастицы

СОДЕРЖАНИЕ

1. Квантовая механика. Состояние микрочастицы.............................. 4

2. Операторы ………………………………………………………………10

3. Измерения. Соотношения неопределенности................................. 12

4. Собственные значения и собственные функции операторов......... 18

5. Уравнение Шредингера. Изменение состояния со временем........ 20

6. Вырождение..................................................................................... 25

7. Матричная форма уравнений......................................................... 26

8. Атом водорода................................................................................ 26

9. Теория возмущений......................................................................... 28

10. Квантовая химия. Общие понятия................................................ 29

11. Метод Хартри................................................................................ 31

12. Метод Хартри-Фока...................................................................... 32

13. Приближения Хюккеля................................................................. 33

14. Метод МО ЛКБФ. Метод Рутана.................................................. 34

15. Теория двухъядерных молекул.................................................... 35

16. p-электронное приближение......................................................... 40

17. Гибридизация атомных орбиталей............................................... 40

18. Индексы реакционной способности.............................................. 41

19. Строение вещества. Общие вопросы…………………………………42

20. Эквивалентность одинаковых частиц………………………………...43

21. Геометрические свойства молекул……………………………………46

22. Электрические свойства молекул. Дипольный

момент. Поляризуемость……………………………………………..50

23. Электронные, колебательные и вращательные состояния

молекул и спектры……………………………………………………...55

 

Решение.

а)

б) ;

в) .

9. Параллельный поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которой b=1 мкм. Определить скорость этих электронов, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l=0,5 м, ширина центрального дифракционного максимума Dх=0,8 мм.

Решение.

Параллельный поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которой b=0,1 мкм. Определить скорость этих электронов, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстояние 0,5 м, ширина центрального дифракционного максимума Δ=0,8 мм.

 

Неопределённость в координате электрона Δx₀~b. В соответствии с соотношением неопределённости для координаты и одноимённой проекции импульса имеем: Δp_x~h/b.

Из рисунка видно, что

Подставляя сюда числовые данные, получим:

Ответ: n=hl/mbDх 0,9×10⁴ км/с.

10. Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов V=25 в, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d=50 мкм. Определить расстояние между соседними максимумами интерференционной картины на экране, расположенной на расстоянии l=1 м от щелей.

Ответ: hl/2dÖ2meV@2,5 мкм.

11. Проходя через отверстие, электроны попадают на один из трех участков экрана: А, В, или С. На участок В они попадают чаще, чем на участки А или С. Вы собираетесь пропустить через отверстие очередной электрон. Ответьте на вопросы:

1. Можно ли предсказать, куда попадет электрон?

2. В какой из участков - А, В или С вероятность попадания наибольшая?

12. Сформулируйте постулат о состоянии квантовой системы. Что такое волновая функция? От чего она зависит?

13. Почему волновые свойства частиц обнаружены в явлениях атомного масштаба? Можно ли в рамках квантовой теории описывать движения макротел? Вселенной?

14. Что означают координаты x, y, z в волновой функции y (х, y, z). Чем эти координаты отличаются от координат частицы в макромире?

15. Как в квантовой механике понимается классическое выражение “Частица движется”?

16. Волновая функция позволяет получить полную информацию о квантовой системе. Что это значит?

17. Может ли квантовая частица покоиться? Почему?

18. Обязательно ли использование y-функции в аппарате квантовой механики? Всегда ли y-функции имеют математический вид волн? Приведите примеры, подтверждающие Ваши утверждения.

19. Каким условиям должна удовлетворять волновая функция частицы? Какой физический смысл имеют стандартные условия: непрерывности, однозначности, ортогональности, нормированности y?

20. Какой физический смысл можно увидеть в том, что y-функция свободной частицы не нормируется обычным образом? Какой физический смысл в нормировке волн Де Бройля по Борну?

21. Сформулируйте принцип суперпозиции полей, волн, сил и т.д.

22. Пусть r - расстояние до некоторой фиксированной точки, которое может принимать значения от 0 до ¥. Волновая функция частицы имеет вид Aear. Любые ли значения r допустимы?

23. Может ли функция erбыть волновой функцией? А функция eir? Почему? Может ли функция аrcsin x быть волновой функцией?

24. Пусть a - угол, определяющий положение точки на окружности. Нужны ли какие-либо ограничения на функцию y= eiam, чтобы она могла быть волновой функцией? m=±1, ±2,...

25. Какое выражение характеризует плотность вероятности найти частицу с координатами x, y, z?

26. Чем отличается плотность вероятности от вероятности? Какова вероятность найти частицу в точке x₀, y₀, z₀? А плотность вероятности?

27. Какие эксперименты указывают на невозможность классического описания движения микрочастицы?

28. Состояние микрочастицы характеризуется волновой функцией

Y = А exp px.

Какая из следующих функций (1, 2) описывает другое состояние частицы?

Y = А exp p¢x, (1)

Y = А exp px¢. (2)

29. Для чего введен принцип суперпозиции состояний в квантовой механике?

30. Какой математический смысл имеет утверждение, что умножение волновой функции на любую постоянную С не меняет состояние системы?

31. Будет ли суперпозиция двух разных волн Де Бройля описывать состояние с определенным импульсом и энергией?

 

ОПЕРАТОРЫ

 

32. Почему математический аппарат квантовой механики использует операторы? Что называется оператором? Сформулируйте постулат об операторах.

33. Почему операторы квантовой механики должны быть линейными?

34. Проверьте, линейны ли операторы:

а) d/dx; б) id/dx; в) x+d/dx; г) ;

д) оператор комплексного сопряжения; е) .

35. Почему операторы квантовой механики должны быть эрмитовыми?

36. Проверьте, являются ли эрмитовыми операторы:

а) d/dx; б) id/dx; в) ; г) ;

д) , где .

Решение. В каждом из случаев а-д необходимо проверить условие эрмитовости оператора:

.

б)

 

Здесь проведено интегрирование по частям и учтено, что на границах области интегрирования (в данном случае на -¥ и ¥) волновая функция обращается в нуль. Полученное соотношение показывает, что условие эрмитовости выполняется.

37. Найти операторы:

a) ; б) ; в) .

Решение. Чтобы получить сложный оператор или выполнить действия с ним, необходимо подействовать оператором на волновую функцию, произвести действия, а в результате волновую функцию отбросить.

а) =

= =

.

.

38. Подействуйте оператором на функцию:

Решение.

=

.

39. Найдите операторы и :

а) в сферической системе координат;

б) в цилиндрической системе координат.

40. Оператор квадрата углового момента в сферической системе координат имеет вид: . Запишите оператор в явном виде и подействуйте оператором на следующие функции:

а) ; б) ; в) .

41. Найдите операторы, переводящие одни функции в другие:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

в) Разложим в ряд в точке .

,

где .

Учтем, что ; тогда , где е, возведенная в степень оператора, подразумевает разложение степени в ряд.

42. Найдите коммутаторы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Указание: Так как коммутатор - сложный оператор, для его получения необходимо воспользоваться правилом, сформулированным в начале решения задачи 37 а).

43. Покажите, что коммутатор .

44. Коммутирует ли гамильтониан частицы с оператором импульса, оператором потенциальной энергии?

 

Решение.

,

» 150 Эв.

60. Электрон с кинетической энергией Т = 10 Эв локализован в области размером l = 1 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости электрона.

61. Оценить минимальную энергию Е_min гармонического осциллятора, имеющего массу m (потенциал U=kx²/2, частота w=(k/m)^1/2), используя соотношение неопределенности.

62. Оценить с помощью соотношения неопределенности энергию связи электрона в основном состоянии атома водорода и соответствующее расстояние электрона до ядра.

Решение. Энергия электрона Е = .

Так как r - размер области локализации электрона, для оценки р имеем р~h/r.

Е @ .

Найдем min этого выражения: (¶Е/¶r) = 0.

; r_min = =a=0,529 - радиус первой Боровской орбиты.

Е_св ~-mе⁴/2h² = - 13,6 Эв.

63. Оценить минимальную возможную энергию электронов в атоме Не и соответствующее расстояние от электрона до ядра.

Решение. Обозначим заряд ядра Ze, а размеры областей локализации электронов - r₁ и r₂. Тогда для оценки импульсов имеем: p₁ ~ h/r₁; p₂ ~ h/r₂, так что кинетическая энергия электрона -

.

Примечание:

Минимальная возможная энергия электрона будет тогда, когда минимальна энергия кулоновского отталкивания электронов, т.е. когда электроны атома будут находиться на максимально возможном расстоянии друг от друга. Эта энергия отталкивания соответствует оценке

.

Для полной энергии электронов, поэтому справедлива оценка.

Е(r₁; r₂) =

Считая r₁ = r₂ и используя (¶ Е /¶ r₁) = 0, находим:

13,6 эВ,

где величина 13,6эВ= постоянная Ридберга. Так как Z=2,то

эВ. Эксперимент даёт -79 эВ.

Ответ: -83,3 эВ

64. Атом испустил фотон с длиной волны l=600 нм за время t=18^-8 с. Оценить неопределенность Dх, с которой можно установить координату фотона в направлении его движения, а также относительную неопределенность его длины волны.

Решение. Dх~сt = 3 м; (Dl/l) = сt/l; DЕDt = hct/Dl ³ h; Dl £ сt.

65. Монохроматический параллельный пучок электронов нормально падает на диафрагму с энергией Е=100 Эв, в которой узкая щель (рис. 5). На расстоянии L=100 см от диафрагмы расположен экран. Оцените ширину щели, при которой ширина изображения на экране будет минимальной.

Решение. Пусть b - ширина щели, а D¢ - уширение, связанное с неопределенностью импульса Dр_у, вызванного дифракцией прохождения через щель. Положив Dу» b,имеем:

 

 

p = ; Dр» h/b,

D¢ = Lq = L ,

D = D¢ + b = b + » 2b = 8,8 мкм,

= 0; = 1 - ; b = » 4,4 мкм.

 

D’

Dр р q D

ü ý þ

Е b b

 

L

 

 

Рис. 5.

 

 

66. Проверьте принцип неопределенности на примере основного состояния электрона в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

67. Пользуясь принципом неопределенности, оцените энергию основного состояния иона Li⁺.

68. Какая возникает неопределенность в энергии частицы массой m при ее локализации в области размером l см?

69. Частица массой m движется в одномерной прямоугольной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Неопределенность в координате частицы Dх = l, импульс же частицы известен точно из ее полной энергии. Не противоречит ли это неравенству Гейзенберга?

70. Не противоречит ли принципу неопределенности состояние электрона в атоме с нулевым моментом количества движения?

Указание. Чтобы ответить на вопрос, запишите выражение для оператора кинетической энергии электрона, движущегося в поле центральных сил, в сферической системе координат.

71. Оцените величину кулоновского отталкивания электронов в атоме Не.

72. Два атома водорода сближаются из бесконечности на конечное расстояние. Как изменяются уровни энергии в системе?

 

ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ

73. Пусть . При каком значении L_n функция Y_n = sin nx является решением уравнения Y_n = L_n Y_n?

Решение. Подействуем оператором на Y_n.

n cos nx = - n² sin nx; L_n = - n².

74. Покажите, что собственной функцией оператора предыдущей задачи является функция Y(x) = с₁ sin nx + с₂ cos nx, где с₁ и с₂ - произвольные постоянные.

75. Найдите собственные функции операторов:

а) ; б) .

76. Найдите собственные значения и собственные функции оператора , если для оператора они равны E_n и Y_n.

77. Покажите, что две разные собственные функции эрмитовского оператора ортогональны.

78. Покажите, что волна де Бройля является собственной функцией оператора кинетической энергии частицы .

79. Покажите, что волны де Бройля и ортогональны, но относятся к одному и тому же собственному значению . Каков физический смысл вырождения состояний оператора кинетической энергии?

80. Эрмитовский оператор задан в виде матрицы . Определите собственные значения и собственные функции оператора .

81. Покажите, что если оператор симметрии системы оставляет неизменным гамильтониан, то состояния системы вырождены.

82. Какой физический смысл имеет ортогональность собственных функций оператора? А нормированость?

83. В чём состоит физический смысл вырождения собственных функций оператора ?

 

5. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ СО ВРЕМЕНЕМ

84. Чем отличается уравнение Шредингера от уравнения диффузии?

85. Почему в левой части уравнения Шредингера стоит частная, а не полная производная по t?

86. Что называется полным набором величин? Сколько величин входит в полный набор?

87. Чем отличается полный набор величин в квантовой механике от полного набора величин в классической механике?

88. Что такое интеграл движения? Какая разница в истолковании интегралов движения в квантовой и классической механике?

89. Что понимают под стационарным состоянием в квантовой механике? Чем это толкование отличается от классического?

90. Если стационарное состояние в квантовой механике меняется со временем, почему оно называется стационарным?

91. Как стационарное квантовое состояние зависит от времени?

92. Выясните зависимость от времени средней величины <A> не зависящего от времени оператора , если состояние частицы:

а) не стационарно;

б) стационарно.

93. Запишите уравнение Шредингера в энергетическом представлении.

94. Запишите уравнение Шредингера Y = ЕY в L-представлении, если спектр оператора дискретный (j₁, j₂,..., j_n...).

95. Запишите гамильтониан для следующих микросистем:

а) Li, б) Be, в) Li₂, г) , е) Н₂О.

96. Покажите, что точный гамильтониан молекул изомеров одинаков.

96а. Почему гамильтонианы молекул изомеров, написанные в адиабатическом приближении, различаются?

97. Покажите, что:

а) точный гамильтониан молекулы не меняется при перестановке любой пары частиц молекулы;

б) точный гамильтониан левой и правой частей уравнения химической реакции одинаков.

97а. Покажите, что гамильтонианы молекул изомеров, написанные в адиабатическом приближении, изменяются при перестановке различных ядер.

98. Покажите, что из уравнения Шредингера следует закон сохранения массы.

99. Покажите, что из уравнения Шредингера следует закон сохранения электрического заряда.

100. Что в квантовой механике называют:

а) потенциальной ямой?

б) потенциальным барьером?

в) потенциальной стенкой?

101. Напишите уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы, имеющей энергию Е и движущейся в потенциале вида (рис. 6).

Решение.

в) , где U(x) = U₀, при x < 0,

U(x) = - U₂ ·(1 - х/а) при 0 £ х £ а,

U(x) = U₁, при х > а;

г) при том же уравнении U(x) = U₀, при x < 0; х > 2(b + R);

U(x) = 0, при 0 £ х £ b; b + 2R £ х £ 2(b + R);

U(x) = - , при b < x < b + 2R;

и) в этой задаче можно обойтись одной переменной: расстоянием по окружности. Тогда можно обозначить, например, l = rq. Учитывая, что в одномерном уравнении Шредингера от переменной l можно перейти к переменной q, то есть

,

уравнение Шредингера можно записать так:

,

где , а 0 £ q £ 2p.

102. Обоснуйте качественно вид решений уравнения Шредингера для потенциалов предыдущей задачи. Чем отличаются решения уравнения Шредингера для систем а-г от уравнения Шредингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

103. Придумайте одномерный потенциал, отличный от а-и задачи 101, и запишите для него уравнение Шредингера.

104. Что такое условия сшивания для волновой функции и каков их физический смысл? Запишите условия сшивания для волновой функции задачи 101 (и).

105. Какие решения временного уравнения Шредингера называют стационарными? Покажите, что такие решения получаются в том случае, когда U не зависит от времени явно.

106. Как изменится волновая функция Y(х, t), описывающая стационарные состояния, если изменить начало отсчета потенциальной энергии на некоторую величину DU?

107. Найдите решения временного уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с импульсом р в положительном направлении оси Х.

108. То же, что и в предыдущей задаче, но частица движется с импульсом в произвольном направлении.

109. Покажите, что энергия свободно движущейся частицы может иметь любые значения (непрерывный спектр).

110. Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Покажите, что собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные функции (0 < x < l) имеют вид:

 

Решение. Уравнение Шредингера внутри ямы имеет вид:

или , (1)

где . Решение уравнения (1) имеет вид

.

Коэффициенты С₁ и С₂ находим из граничных условий: y(0)=0; y(l)=0. Из первого граничного условия получаем С1= -С2и y(х)=2i С1 sin kx; из второго граничного условия имеем sinkl=0, kl=np, где n=±1,±2,... Значения n=0 отбрасываем, так как при этом значении y(х) тождественно равно нулю во всех точках внутри ямы, что соответствует отсутствию такого состояния.

k = np/l; yn(x) = Сsin (npx/l).

Здесь мы воспользовались принципом суперпозиции, умножив Y(х) на постоянное число -0,5i. Коэффициент С находим из условия нормировки: dx=1, откуда , а из условия находим .

111. Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите энергию Е частицы в стационарном состоянии:

а) описываемом волновой функцией , где k - заданная постоянная, х - расстояние от одного края ямы;

б) если ширина ямы l и число узлов волновой функции Y(х) равно N.

112. Частица находится в одномерной потенциальной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Найдите нормированные y-функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты х в середине ямы.

113. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите:

а) массу частицы, если ширина ямы l и разность энергий 3-го и 2-го энергетических уровней равна DЕ;

б) квантовое число n энергетического уровня частицы, если интервалы энергии до соседних с ним уровней (верхнего и нижнего) относятся как h:1, где h=1,4.

114. Частица массы m находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найдите:

а) силу давления, которую оказывает частица на стенку;

б) работу, которую нужно совершить, чтобы медленно сжать яму в h раз.

115. Частица находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найдите вероятность пребывания частицы в области l/3 < x < 2l/3.

116. Частица массы m находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Максимальное значении плотности вероятности местонахождения частицы равно P_m. Найдите ширину l ямы и энергию Е частицы в данном состоянии.

117. Частица массы m находится в двухмерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координаты x, y частицы лежат в пределах 0<x<a, 0<y<b, где a и b - стороны ямы. Найдите собственные значения энергии и нормированные собственные функции частицы.

118. Определите в условиях предыдущей задачи вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области 0<x<a/3, 0<y<b/3.

119. Частица массы m находится в двухмерной квадратной яме с бесконечно высокими стенками. Сторона ямы равна l. Найдите значения энергии Е частицы для первых четырех уровней.

120. Частица массы m находится в основном состоянии в двухмерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите энергию Е частицы, если максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно Pm.

121. Частица массы m находится в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Длины ребер ямы равны a, b, c. Найдите собственные значения энергии частицы.

122. Что называется квантовым осциллятором? Чем отличается квантовый гармонический осциллятор от классического?

 

 

ВЫРОЖДЕНИЕ

 

123. Что называется вырожденным состоянием? Покажите, что если функции y₁ и y₂ являются собственными функциями оператора , а состояния y₁ и y₂ - вырождены, то их линейная комбинация также является собственным состоянием системы.

124. Почему возбужденные состояния атома водорода вырождены?

125. Покажите, что если гамильтониан системы не меняется при некоторой операции симметрии, то состояние системы вырождено.

126. Подсчитайте кратность вырождения состояния электрона в атоме водорода при n=3: а) без учета спина; б) с учетом спина.

127. Почему в трехмерной прямоугольной потенциальной яме состояния электрона вырождены?

 

МАТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ

 

128. Как записывается оператор в матричной форме? Что понимают под матричным элементом оператора?

129. Что представляет собой матрица оператора в собственном базисе?

130. Дайте определение эрмитовской матрицы: симметричной, положительно определенной. Почему матрица гамильтониана должна быть эрмитовской?

131. Что понимают под диагонализацией матрицы и зачем необходимо диагонализировать матрицы операторов физических величин?

132. Как можно привести матрицу оператора к диагональному виду?

133. Найдите собственные значения матрицы .

134. Что такое собственный вектор матрицы? Найдите собственные векторы матрицы задачи 133.

АТОМ ВОДОРОДА

 

135. Почему задачу о движении электрона в атоме Н удается решить точно, а для атома гелия это не возможно?

136. Запишите наиболее общий вид волновой функции, описывающей электрон в поле протона. Почему угловая часть этой функции зависит от квантовых чисел l и m? Почему радиальная часть данной функции зависит от n и l?

137. Найдите наиболее вероятное расстояние электрона 1S от ядра в атоме Н. То же для электрона в состоянии 2S.

138. Найдите среднее расстояние 1S-электрона в атоме водорода от ядра.

139. Постройте угловую зависимость от угла q орбитали электрона атома водорода в плоскости XZ.

140. Координатная часть волновой функции электрона в 2S-состоянии атома водорода имеет вид:

 

;

где b - постоянная, a₀ - радиус первой Боровской орбиты. Постройте:

а) график этой функции в зависимости от r;

б) график зависимости вероятности нахождения электрона от расстояния r до ядра. Установите положения максимумов плотности вероятности в единицах радиуса Боровской орбиты (r/a₀).

141. Координатная часть волновой функции электрона в 3S-состоянии атома водорода имеет вид:

;

где b-постоянная, a₀ -радиус первой Боровской орбиты. Постройте:

а) график этой функции в зависимости от r;

б) график зависимости плотности вероятности нахождения электрона от расстояния r до ядра. Установите положения максимумов плотности вероятности в единицах радиуса Боровской орбиты (r/a₀).

142. Радиальная часть волновой функции электрона атома водорода в состоянии 2р_z имеет вид:

;

где b - постоянная, a₀ - радиус первой Боровской орбиты. Построить:

а) график этой функции в зависимости от r;

б) график зависимости плотности вероятности нахождения электрона от расстояния r до ядра. Установите положения максимумов плотности вероятности в единицах радиуса Боровской орбиты (r/a₀).

143. Радиальная часть волновой функции электрона в состоянии 3р_z атома водорода имеет вид:

;

где b - постоянная, a₀ - радиус первой Боровской орбиты. Построить:

а) график этой функции в зависимости от r;

б) график зависимости плотности вероятности нахождения электрона от расстояния r до ядра. Установите положения максимумов плотности вероятности в единицах радиуса Боровской орбиты (r/a₀).

144. Постройте зависимость вероятности нахождения электрона в состоянии 1S от его расстояния r до ядра.

145. Постройте зависимость орбиталей 1S, 2S от углов q и j. Что означает изображение 1S-AO в виде сферы? Почему сфера для 2S-AO имеет бóльшие размеры, чем сфера, изображающая 1S-AO?

146. Постройте угловые зависимости и -AO на плоскостях.

147. Почему полная энергия электрона в атоме водорода отрицательна? Что означала бы положительность этой энергии?

148. В атоме водорода уровни энергии электрона при n>1 вырождены по орбитальному квантовому числу l, а в многоэлектронных атомах это вырождение снимается. Почему?

149. Один из эффективных методов преобразования матриц к диагональному виду - метод вращений. Покажите, что матрицу Н= можно привести к диагональному виду преобразованием подобия с матрицей поворота плоскости системы декартовых координат на 45°.

150. Найдите частоту перехода электрона в атоме водорода между

уровнями 1S®2P.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

 

151. Что понимают под оператором возмущения?

152. В каком смысле говорят о необходимости малости возмущения?

153. Чему равна поправка к энергии системы в первом и во втором приближениях теории возмущений?

154. Состояние некоторой системы описывается волновыми функциями y₁, y₂, y₃, y₄, и соответствующими собственными значениями Е₁=1, Е₂=2, Е₃=3, Е₄=4. Матричные элементы оператора возмущения равны: W₁₁=0,4; W₂₂=0,3; W₃₃=0,2; W₄₄=0,1; W₁₂=W₁₃=0,1; W₂₃=0,2; W₁₄=W₂₄=0.

Найти:

а) поправки к уровням энергии в первом и во втором приближениях теории возмущений;

б) поправки первого приближения к волновым функциям;

в) точные собственные значения возмущенной задачи;

г) нормированные волновые функции в первом приближении теории возмущений.

 

 

МЕТОД ХАРТРИ

 

185. В чем сущность метода Хартри? Запишите оператор потенциальной энергии i-го электрона в методе Хартри. Запишите его на примере первого электрона атома Ве.

186. Запишите уравнение Шредингера для молекулы Li₂ в приближении Хартри (а также Ве₂, ).

187. Почему уравнение Хартри является нелинейным? Проверьте, является ли оператор Гамильтона, записанный в приближении Хартри, линейным?

188. В чем смысл метода самосогласованного поля? Что понимается под самосогласованным полем? Самосогласованной орбиталью?

189. Являются ли самосогласованные поля в методе Хартри одинаковыми для каждого из электронов электронной оболочки химической частицы? Проверьте это на примере молекулы Ве₂⁺. Объясните, почему?

190. Будет ли полная электронная энергия в методе Хартри равна сумме энергий занятых орбиталей? Почему?