Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.

 

Теорема:

Функция интегрируема на отрезке тогда и только тогда, когда .

Доказательство:

 

Докажем необходимость условия:

Функция интегрируема на отрезке .

Пусть , тогда , т.е. .

т.е. и .

Далее имеем: , т.е. .

Необходимость доказана.

 

Докажем достаточность условия:

.

.

.

Докажем, что .

,

,

, тогда , т.е. ,

.

Достаточность доказана.

Билет 41

Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.

Теорема (Основная)

Ограниченная функция f интегрируема на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда .

Доказательство:

По теореме об интегрируемости (f интегрируема Û ) функция интегрируема тогда и только тогда, когда (1). Надо доказать, что если . Т.е. если найдется одно R^*, удовлетворяющее неравенству (1), то оно (неравенство) будет выполняться для всех R. Возьмем произвольное . Нужно найти δ, такое чтобы выполнялось неравенство . По условию теоремы . Рассмотрим наше разбиение R^* и произвольное R, как показано на рисунке. Составим разность верхней и нижней сумм Дарбý для нового разбиения R: . Нужно сделать его меньше . Из условия имеем . Обозначим через Σ первую сумму и разобъем ее: Σ=Σ₁+Σ₂. Σ₁ – такие слагаемые, что элемент нового разбиения R содержит в себе хотя бы одну точку границы старого раазбиения R^*. Все остальное войдет в Σ₂. Рассмотрим отдельно Σ₁ и Σ₂:

Σ₁: т.к. функция f – ограничена (k - константа). Тогда (M и m – максимум и минимум на [a,b]). Получим Σ₁ , где λ_R<δ, а количество красных отрезков не превосходит 2n. Для того чтобы это неравенство выполнялось, достаточно взять δ< /8kn. Т.е. при δ< /8kn Σ₁ < /2.

Σ₂: разобъем Σ₂ на повторные суммы, т.е. Σ₂=Σ(Σ ⁱ). Σ ⁱ≤ ≤ (M_i^*-m_i^*) ΣΔ x_i^*, где M_j и m_j – максимум и минимум на j -том участке. Σ ⁱ – группировка тех новых j -тых участков, которые попали в один и тот же старый. Получим Σ₂ ÞΣ₁+Σ₂ <ε, т.е. Σ < . В итоге:

. Теорема доказана.

Следствие 1: Функция f – интегрируема на [a,b], если с : (если существует такая последовательность разбиений с мелкостью, стремящейся к нулю, что модуль разности последовательности интегральных сумм и интеграла стремится к нулю).

Следствие 2: Функция f – интегрируема на [a,b], если (если верхний интеграл равен нижнему).

 

Билет 42

Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.

Определение 1: ограниченная функция, и при выполнении условия , называется равномерно непрерывной.

Определение 2(Критерий Коши): - равномерно непрерывная функция на отрезке если выполняется условие при .

Теорема 1 (Эквивалентность определений 1 и 2)

Доказательство:

Так как и выполняется Критерий Коши.

Теорема 2

Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ().

Доказательство:

Допустим что теорема неверна. Построим отрицание к определению 2.

. Зададим стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел , тогда . Так как точки последовательности принадлежат к отрезку , то эта последовательность ограничена, и из нее можно выделить, по теореме Больцано-Вейерштрасса, подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . Значит, из нее можно выделить также подпоследовательность . Аналогично выделим подпоследовательность и . Получили противоречие – теорема доказана.

Необходимость условия: Если , то теорема 2 не выполняется.

Пример Пусть при .

Билет 43