Проверка однородности выборочных средних

Данная процедура позволяет установить, вызвано ли расхождение между средними случайными ошибками измерений или оно связано с влиянием каких либо случайных факторов. Эта процедура используется, например, при установлении идентичности параметров деталей, изготовленных на разном оборудовании. Проверка гипотезы об однородности средних осуществляется по критерию Стьюдента.

· Если и однородны, то вычисляется по формуле:

 

(1.70)

 

Если гипотеза об однородности средних принимается. Число степеней свободы для выбора

Формула становится проще, если Тогда

 

(1.71)

· В том случае, если дисперсии и неоднородны, то вычисляется по формуле:

 

(1.72)

 

Число степеней свободы вычисляется по формуле:

(1.73)

 

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения по

критерию Пирсона

 

Для проверки данной гипотезы весь интервал возможных значений случайной величины разбивается на подинтервалов. В каждый подинтервал попадает по значений случайной величины

Вычисляются теоретические вероятности

 

Здесь нижняя и верхняя границы го подинтервала соответственно, выборочное среднее, среднеквадратическое отклонение.

Для проверки гипотезы о законе нормального распределения используется табулированная нормированная функция Лапласа.

Нормированная функция Лапласа определяется как интеграл вида:

 

(1.74)

 

Расчетный коэффициент Пирсона определяется по формуле:

 

(1.75)

 

Здесь объем выборки, число степеней свободы Одна степень свободы падает на выборочное среднее, вторая на выборочную дисперсию, третья на выбор закона распределения.

Гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины принимается в том случае, если Здесь табличное значение коэффициента Пирсона.

2. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения по

критерию Колмогорова.

Проверка нормального распределения по критерию Колмогорова основана на использовании показателей асимметрии и эксцесса. Коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса рассчитываются по формулам:

(1.76)

 

где среднеквадратическое отклонение;

объем выборки.

Затем вычисляются среднеквадратические отклонения для коэффициента асимметрии и эксцесса по формулам:

 

(1.77)

 

Если приведенные ниже неравенства выполняются, то можно принять гипотезу о нормальном законе распределения

 

и (1.78)

 

1.22. Другие наиболее известные виды законов распределения [14]

Биномиальное распределение

Если в серии независимых опытов, каждый из которых заканчивается появлением или не появлением некоторого события А, тогда можно считать, что событие А происходит с вероятностью Р(А), тогда непоявления события А будет равна q(А) = 1 Р(А). Все результаты опытов независимы друг от друга, поэтому наступление события А (или не наступление события А) не зависит от результатов предыдущих опытов. В этом случае вероятность наступления события А определенное число раз происходит по закону биномиального распределения. Если вероятность появления события А постоянна и равна Р(А), то вероятность наступления события А точно k раз в n испытаниях будет определяться уравнением

 

(1.79)

 

Уравнение (1.81) описывает биномиальное распределение случайного числа k. Здесь означает число сочетаний из n элементов по k. Этот коэффициент называется биномиальным и определяется выражением

(1.80)

Из вышеизложенного следует, что формула (1.81) будет иметь вид

(1.81)

Математическое ожидание

(1.82)

и дисперсия

(1.83)

Пример. На некотором участке цеха в час обрабатываются 100 деталей, 2 из которых могут быть бракованными. Какова вероятность того, что из 100 деталей две могут быть бракованными? Здесь

Тогда вероятность появления двух бракованных деталей из ста будет равна:

Распределение Пуассона

В том случае, если вероятность появления события А очень мала, например, а количество опытов достаточно велико, можно

считать, что событие А раз произойдет в опытах определяется уравнением

(1.84)

 

 

где математическое ожидание числа

Уравнение (1.86) представляет собой распределение Пуассона.

Если число опытов велико, вероятность мала, то законы Пуассона и биномиальный практически совпадают, то есть можно написать уравнение

(1.85)

 

Поскольку формула может быть представлена в виде

(1.86)

 

Пример. Пусть в некоторой партии готовых деталей есть порядка 1% бракованных деталей. Определить вероятность того, что в выбранной партии из 50 деталей, находятся 0, 1, 2, или 3 бракованные

Распределение Пуассона обычно применяется в производстве для выборочного контроля качества готовой продукции, когда допускается небольшой процент брака, то есть при а объем выборки принимается таким, чтобы

 

Робастность

Принадлежность случайной величины к тому или иному теоретическому распределению (закону распределения) накладывает некоторые существенные ограничения, которые на практике не всегда выполняются. Поэтому особенно ценными оказываются методы, которые можно применять в широком диапазоне изменения условий. Незначительная (небольшая) чувствительность к отклонениям от теоретических условий называется робастностью. Применяемые на практике методы в реальных условиях называются робастными [28]. Робастность связана с определенными отклонениями от теоретических условий. Она может относиться к неоднородности дисперсий, к отсутствию независимости опытов, невыполнению условия принадлежности к нормальному распределению и т. д.

 

1.24. Коэффициент корреляции [24, 26]

Коэффициент корреляции позволяет выявить линейную статистическую зависимость между двумя случайными величинами и рисунок 1.19.

а) б)

 

Рисунок 1.19. Статистические зависимости

а) прямо пропорциональная ();

б) обратно пропорциональная ()

 

Выборочный коэффициент корреляции находится в пределах и определяется формулой:

 

(1.87)

 

Анализ этой формулы показывает, что чем дисперсии больше, тем зависимость менее определенная, то есть коэффициент корреляции меньше. Более ярко выраженная зависимость делает коэффициент корреляции ближе к единице по абсолютной величине, рисунок 1.20.

Рисунок 1.20. Коэффициент корреляции

 

Формула для вычисления выборочного коэффициента корреляции имеет вид:

. (1.88)

 

Здесь объем выборок .

Для того, чтобы убедиться в том, что статистическую зависимость можно считать значимой с выбранным уровнем значимости необходимо проверить эту гипотезу по критерию Стьюдента. Вычисление расчетного коэффициента Стьюдента осуществляется по формуле:

 

. (1.89)

 

Число степеней свободы берется равным

Используя соответствующую статистическую таблицу выбираем .

Если , можно принять гипотезу о значимости коэффициента корреляции. При корреляционная зависимость отсутствует.

Значимость коэффициента корреляции можно проверить с помощью графика, показанного на рисунке 1.21.

Рисунок 1.21. График для проверки значимости коэффициента корреляции

 

На рисунке 1.21 кривыми линиями плоскость разделена на три зоны:

· I – коэффициент корреляции незначим;

· II - коэффициент корреляции значим;

• III - коэффициент корреляции весьма значим.

Истинный коэффициент корреляции определяется как предел абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции

(1.90)