Приклади застосування функцій в економіці

Функції находять широке застосування в економічній теорії та практиці. Це можуть бути як найпростіші лінійні функції так і складні, що задаються рекурентними співвідношеннями. Розглянемо основні функції.

1. Функція корисності. Це залежність користі деякої дії від рівня , тобто інтенсивності цієї дії. Графік цієї функції зображено на рис. 2.21.

2. Виробнича функція. Це залежність результату виробничої діяльності від обумовлюючих її факторів.

3. Функція випуску (частинний випадок виробничої функції). Це залежність об’єму виробництва від наявності або споживання ресурсу . Графік функції зображено на рис. 2.22.

4. Функція витрат (частинний випадок виробничої функції). Це залежність витрат виробництва від об’єму продукції . Графік функції зображено на рис. 2.23.

5. Функція попиту, споживання та пропозиції. Це залежність об’єму попиту, споживання чи пропозиції на окремі товари та послуги від різних факторів, наприклад, ціни, прибутку тощо.

Графіки функцій попиту та пропозиції від ціни зображено на рис. 2.24 а, б.

Всі ці функції достатньо складно виразити аналітично. При необхідності їх знаходять методами аналізу або наближають за допомогою елементарних функцій.

6. Функція податкової ставки. Це залежність податкової ставки в % від величини річного прибутку . Ця функція відома усьому суспільству і законодавчо затверджена.

Наведемо приклади застосування деяких функцій.

Функції Торнквіста. Досліджуючи залежності попиту на різні товари від прибутку, розглянемо функції Торнквіста:

;

;

.

Можемо встановити рівні прибутків , , при яких розпочинається придбання тих чи інших товарів та рівні насиченості , для товарів першої та другої необхідності.

Графіки функції Торнквіста зображено на рис. 2.25.

Функції попиту та пропозиції. Розглянемо в одній системі координат криві попиту та пропозиції (рис. 2.26).

Одержимо рівноважну (ринкову) ціну даного товару в умовах конкурентного ринку.

Функції байдужості та функції бюджетного обмеження. Вивчаючи в теорії попиту криві байдужості (лінії, вздовж яких корисність двох благ та одна й та сама), наприклад, які задаються в вигляді та лінію бюджетного обмеження , де – прибуток споживача, а і – ціни благ та відповідно, ми можемо встановити оптимальні кількості благ та , які мають найбільшу корисність.

Графіками кривих байдужності є гіперболи, а графіком функції бюджетного обмеження є пряма лінія (рис. 2.27).

 

Границя функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, може бути, самої точки . В точці функція може бути і не визначена.

Означення 2.7. Число називається границею функції при , якщо для будь-якої числової послідовності значень аргументу відповідна послідовність значень функції прямує до числа . Позначають границю функції так: .

При цьому припускається, що послідовність належить області визначення функції.

Суть цього означення полягає в тому, що, як тільки значення аргументу необмежено близько наближаються до значення , відповідні значення функції необмежено близько наближаються до значення .

Більш строгим є наступне означення границі.

Означення 2.8. Число A називається границею функції при прямуючому до , якщо для кожного скільки завгодно малого наперед заданого додатного числа можна вказати таке додатне число , що як тільки , то виконується умова .

Оскільки нерівність визначає –окіл точки на вісі абсцис, а нерівність визначає –окіл точки на вісі ординат, геометричний зміст означення 2.8 такий: для будь-якого –околу точки на вісі можна знайти такий –окіл точки на вісі , що як тільки значення аргументу попадає в –окіл точки , відповідне значення функції попадає в –окіл точки .

Приклад 2.6. Довести, виходячи з означення границі функції, що .

Розв’язання. Нехай – будь-яке, як завгодно мале, додатне число. Знайдемо таке , щоб для всіх , що задовольняють нерівність , виконувалася нерівність

або .

Очевидно, що , оскільки при такому d умова приводить до виконання умови , з чого випливає, що .

Рис. 2.28.

 

Якщо розглянути графік функції, зображений на рис. 2.28, то стане ясно, що ця функція не має границі при . У такій ситуації говорять про односторонні границі функції. Якщо за умови, що значення аргументу прямують до , залишаючись менше , число A називають границею функції в точці зліва, і пишуть . Аналогічно, якщо за умови, що, залишаючись більше , то називають правосторонньою границею функції в точці , і пишуть .

Якщо однобічні границі функції в точці існують і рівні, то функція має границю, і вона дорівнює загальному значенню цих границь.

Говорять, що границя функції при дорівнює нескінченності, якщо для кожного як завгодно великого додатного числа можна вказати таке додатне число , що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується умова . У цьому випадку пишуть (рис. 2.29).

Функція має границею число A при , якщо для будь-якого, скільки завгодно малого , можна вказати таке число , що для всіх , які задовольняють нерівність виконується нерівність (рис. 2.30). Пишуть .

Рис. 2.29.	Рис. 2.30.