Наближені обчислення за допомогою похідної

Теорема 3.4. Приріст функції і її диференціал є еквівалентними нескінченно малими при .

Дійсно, використовуючи означення еквівалентних нескінченно малих, одержуємо

.

Тут , оскільки є нескінченно малою при .

Можна стверджувати, що при досить малих значеннях :

. (3.18)

При розв'язанні багатьох задач приріст функції заміняють її диференціалом, що, звичайно, обчислити простіше. Виходячи з наближеної рівності (3.18) можна записати, що або

. (3.19)

Остання формула дає можливість приблизно обчислити значення функції для “незручного” значення аргументу , замінивши його “зручним” , при цьому у формулі – це різниця між заданим значенням аргументу і зручним для обчислення.

Приклад 3.10. Дана функція . Знайти приблизно .

Розв’язання. Приймемо , , тоді . На підставі формули (3.19) для даної функції складемо наближену рівність: . Оскільки , , , одержимо

.

 

Еластичність функції

В багатьох економічних задачах потрібно обчислити відсоток приросту (відносний приріст) залежної змінної, відповідно відсотку приросту незалежної змінної. Це приводить до поняття еластичності функції (іноді її називають відносною похідною).

Коефіцієнт еластичності показує відносну зміну досліджуваного економічного показника під дією одиничної відносної зміни економічного чинника, від якого він залежить при незмінних інших чинниках, що впливають на нього.

Нехай величина залежить від , і ця залежність описується функцією . Зміна незалежної змінної приводить згідно з функціональною залежністю до зміни змінної . Постає питання, як виміряти чутливість залежної змінної до змінної . Одним із показників впливу однієї змінної на іншу є похідна

,

яка характеризує швидкість зміни функції зі зміною аргументу . Однак в економіці цей показник незручний тим, що він залежить від вибору одиниць виміру.

Наприклад, якщо розглянемо функцію попиту на цукор від його ціни , то побачимо, що значення похідної при кожній ціні (що вимірюється в грошових одиницях)

залежить від того, чим вимірюється попит на цукор у кілограмах або в центнерах. У першому випадку похідна вимірюється в кг/грош. од., у другому – у ц/грош. од., відповідно її значення при тому самому значенні ціни буде різним залежно від одиниць виміру розміру попиту. Тому для виміру чутливості зміни функції до зміни аргументу в економіці вивчають зв'язок не абсолютних змін змінних та ( і ), а їхніх відносних або процентних змін.

Введемо поняття еластичності. Нехай дана функція . Надамо аргументу приріст . Величину будемо називати відносним приростом аргументу.

Функція отримає приріст

.

Величину будемо називати відносним приростом функції.

Складемо відношення відносного приросту функції до відносного приросту аргументу:

.

Це співвідношення показує у скільки разів відносний приріст функції більше відносного приросту аргументу.

Його можна записати в такому вигляді:

.

Якщо функцію можна диференціювати, то

.

Одержаний результат називають еластичністю функції відносно аргументу .

Означення 3.4. Еластичністю функції відносно аргументу називається границя відношення відносного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

Еластичність позначається символом . Отже

. (3.20)

Еластичність чисельно дорівнює приблизному відсотковому приросту функції (підвищення або зниження), відповідному приросту незалежної змінної на 1%.

Приклад 3.11. Обчислити еластичність функції .

Розв’язання. За означенням еластичності маємо:

.

Якщо, , то еластичність функції дорівнює числу . Це означає, якщо зросте на 1%, функція також зросте на %.

Наведемо основні властивості еластичності.

1). Еластичність – безрозмірна величина, значення якої не залежить від того, в яких одиницях вимірюються величини та : .

.

2). Еластичність суми двох функцій та може бути знайдена за формулою:

.

3). Еластичність добутку двох функцій та , що залежать від одного і того ж аргументу , дорівнює сумі еластичностей: . Тобто:

.

4). Еластичність частки двох функцій та , дорівнює різниці еластичностей:

.

5). Еластичності взаємно обернених функцій – взаємно обернені величини: .

.

Наприклад, еластичність величини попиту за ціною обернена еластичності ціни за величиною попиту .

Еластичності елементарних функцій:

1. Еластичність степеневої функції стала і дорівнює показнику степеня : .

Дійсно: .

2. Еластичність показникової функції пропорційна : . Маємо:

.

3. Еластичність лінійної функції : .

Дійсно: .

Функція з нескінченною еластичністю в усіх точках називається абсолютно еластичною, з нульовою еластичністю в усіх точках – абсолютно нееластичною.

Приклад 3.12. Обчислити еластичність функції .

Розв’язання. Нехай , , тоді

, ;

.