Квартили, децили, перцентили

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределение можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, на 10 или на 100 частей. Эти величины называют «квартили», «децили», «перцентили».

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на 4 равновеликие части.

Различают квартиль нижний (), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (), осекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине ; 25% единиц будут заключены между и ; 25% - между и , а остальные 25% превосходят . Средним квартилем является медиана.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

Где - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

- нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопительной частоте, первой превышающей 75%);

;

– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;

- частота интервала, содержащего нижний квартиль;

- частота интервала, содержащего верхний квартиль.

Рассмотрим расчет нижнего и верхнего квартилей по данным таблицы. Нижний квартиль находиться в интервале 25,0-25,6, накопленная частота равна 7,5%. Верхний квартиль лежит в интервале 25,6 – 28,4 с накопленной частотой 22,5%. Средний квартиль лежит в интервале 25,0-25,6 с накопленной 15%. С учетом этого получим:

 

И мы уже доказали, что

Кроме квартилей в вариационных рядах распределения могут определяться децили – варианты, делящие ранжированный вариационный ряд на десять равный частей. Первый дециль () делит совокупность в соотношении к и т.д.

Вычисляются они по формулам:

,

Поэтому:

Значение признака, делящие ряд на сто частей, называют перцентилями.

Для характеристики размера вариаций признака используются:

а) абсолютные показатели:

1) размах колебаний - максимальное и минимальное значение признака.

R = 34,0-20,0 = 14%.

2) среднее линейное отклонение:

 

3) среднее квадратическое отклонение и дисперсия:

и

и

Составим таблицу для расчета этих показателей:

Уровень механизации труда, % (х)	Число предприятий, частота интервала, f	Середина интервала, , %
20,0 – 22,8		21,4	6,53	42,64	42,64
22,8 – 25,6		24,2	22,38	13,91	83,46
25,6 – 28,4		27,0	8,38	0,86	7,74
28,4 – 31,2		29,8	18,7	3,5	35,0
31,2 – 34,0		32,6	18,68	21,81	87,24
Итого			74,67	82,72	256,08

 

б) относительные показатели

1) Наиболее часто, из которых, используется коэффициент вариации: если он не превышает 40%, то совокупность считается однородной.

Симметричным является распределение, в котором частоты двух любых вариантов, равностоящих по обе стороны от центра распределения, равны между собой.

2) Коэффициент осцилляции отражает относительную колебность крайних значений признака вокруг средней величины.

3) Относительные линейные отклонения характеризуют долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

4) Относительный показатель квартильной вариации рекомендуется для рядов распределения с открытыми интервалами.

=

Момент распределения

Момент распределения называется средняя величина отклонений, определенной степени от какого-либо числа.

Если это - то моменты называют центральными.

Если отклонение отчитываются от произвольного момента начала, то она называется производной.

Если это погибло к нулю, то момент называется начальным.

Формула моментов распределения:

Составим таблицу для расчета моментов:

Уровень механизации труда, % (х)	Число предприятий, частота интервала, f	Середина интервала, , %
20,0 – 22,8		21,4	42,64	278,45	1 818,25
22,8 – 25,6		24,2	83,46	311,37	1 161,42
25,6 – 28,4		27,0	7,74	7,24	6,75
28,4 – 31,2		29,8	35,0	65,39	122,3
31,2 – 34,0		32,6	87,24	407,39	1 902,52
Итого			256,08	1 069,84	5 011,24

 

Центральные моменты:

1

Рассчитаем относительный показатель асимметрии:

Он принимает положительное значение, это говорит о правосторонней асимметрии. Т.е. на графике распределения правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая.

Средняя квадратическая ошибка показателя :

Тогда асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично.

Рассчитаем показатель эксцесса (островершинности распределения):

Т.к. величина эксцесса отрицательная, то распределение плосковершинное.

Рассчитаем среднеквадратическую ошибку эксцесса:

Тогда отклонение от нормального можно считать существенным.

Вывод:

Произведя группировку 30-ти предприятий по признаку удельного веса технико – обоснованных норм, мы получим 5 групп предприятий. Среднее значение уровня механизации труда по этим предприятиям составляет 27,93%, а индивидуальные значения изменяются от 20,0 до 34,0. Наиболее часто встречаются значение уровня механизации труда (мода) – 28,799%. Варианту, стоящему в середине ранжированного ряда соответствует значение 28,08% (медиана). Размах вариации составляет 14,0. В средней каждое значение признака отклоняется от среднего значения по группе на 2,49 (по среднему линейному отклонению), на 2,92 по среднему квадратическому отклонению.

Центральный момент второго порядка является дисперсией.

Совокупность данных можно считать однородной, т.к. коэффициент вариации принимает значение меньше 5%. Распределение предприятий по факторному признаку имеет правостороннюю асимметрию, и она существенна.

Распределение предприятий по удельному весу технико – обоснованных норм является совершенным, т.к., показатель эксцесса принимает положительно значение.