Тема 3. 3. Графічний аналіз виробничої функції

 

Графіком функції КД є виробнича поверхня, яка розміщена в частині простору між додатніми напрямами осей ОХ₁, ОХ₂, ОУ (рис.1)

 

 

Рис. 1. Графік виробничої функції КД

 

Якщо виробничу поверхню перетнути горизонтальними площинами, то в перерізах утворяться лінії сталого випуску, для яких виконується умова y = Q = const.

Ці лінії називаються ізоквантами. Ізокванти мають такі властивості:

* ізокванти не перетинаються між собою;

* із збільшенням випуску продукту ізокванти віддаляються від початку координат;

* ізокванти не перетинаються з осями координат Ох₁, Ох₂.

Для кожної ізокванти повний диференціал виробничої функції буде дорівнювати нулеві, бо y = Q = const, а значить dy =0. Таким чином отримаємо:

Процес еквівалентного заміщення ресурсів відповідає рухові вздовж ізокванти, тому її ще називають кривою заміщення.

Якщо спроектувати ізокванти на площину ОХ₁Х₂, то характер її розміщення для різних значень обсягу випуску продукції (Q ₁< Q ₂< Q ₃< Q ₄) навелено на рис. 2.

 

Рис. 2. Графічне зображення ізоквант

Графічне тлумачення граничної норми заміщення наведено на рис. 3.

Рис. 3. Графічна інтерпретація граничної норми заміщення

 

Тангенс кута нахилу дотичної в т. N до відповідної осі координат являє собою граничну норму заміщення, бо

.

Комбінації ресурсів, для яких граничні норми заміщення ресурсів є сталими, утворюють лінії, що називаються ізокліналями (рис. 2).

Якщо виробничу поверхню перетнути площинами, які проходять через точки х ₁^¢, х ₁^¢¢, х ₁^¢¢¢ паралельно до пл. х₂Оу, то в перерізах утворяться лінії (L^¢, L^¢¢, L^¢¢¢), що характеризують зміну випуску продукту в залежності від зміни капіталу при фіксованому рівні витрат праці (рис. 1).

Аналогічні лінії утворюються при перетині виробничої поверхні площинами, які паралельні до площин х₁Оу (К^¢, К^¢¢, К^¢¢¢). Ці лінії характеризують зміну випуску продукту в залежності від зміни витрат праці при сталому рівні витрат капіталу (рис. 1).

На загал лінії такого типу називаються кривими "затрати - випуск" (рис. 4).

Рис. 4. Криві "затрати - випуск"

 

Середня і гранична продуктивність ресурсів є функціями, графіки яких не перетинаються, що впливає із залежностей (11)-(14).

Приклад 4.

Для виробничої функції у = х ₁^0,5 х ₂^0,5 необхідно:

1. Побудувати ізокванти у =1, у =2;

2. Знайти граничну норму заміщення праці для ізокванти у =1 в точці х ₁=2;

3. Побудувати криві середньої та граничної продуктивності праці при х ₂=4.

Для побудови ізоквант у =1, у =2 виконаємо такі перетворення виробничої функції:

З урахуванням цього будуємо графіки ізоквант на площині х₁ 0х₂ (рис. 5).

Рис. 5. Графіки ізоквант у =1, у =2

 

Гранична норма заміщення праці визначається за такою формулою:

.

В нашому випадку а ₁= а ₂=0,5, х ₁=2. Знайдемо значення х ₂ із врахуванням того, що у =1:

Таким чином

,

що означає, що додаткова одиниця праці в околі точки (2; 0,5) заміщає 0,25 одиниць капіталу.

Знайдемо функції середньої та граничної продуктивності праці з урахуванням значення х ₂=4:

Графіки функцій m ₁, n ₁ зображені на рис. 6.

 

Рис. 6. Графіки функцій середньої та граничної продуктивності праці