Номинальная и эффективная учетные ставки

Дисконтирование может производиться не один раз в году, а m раз в год, т. е. каждый раз учет производится по ставке . В этом случае

 

, (3.15)

 

где f – номинальная годовая учетная ставка.

 

Эффективная учетная ставка d показывает степень дисконтирования за год. Ее определяют из равенства дисконтных множителей:

 

,

 

откуда

 

.

 

В свою очередь

 

.

 

Эффективная учетная ставка меньше номинальной при m > 1.

 

Пример 3.12. По данным примера 3.11 определим сумму, полученную при поквартальном учете по номинальной учетной ставке 15 %, и эффективную учетную ставку.

 

Имеем f = 0,15; m = 4; n = 5; m ∙ n = 20.

 

тыс. руб.

 

Эффективная учетная ставка составит

 

, или 14,177 % [10, с. 56–57].

 

 

Наращение по сложной учетной ставке

Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из (3.14) и (3.15) следует:

 

, (3.16)

 

. (3.17)

 

Множитель наращения при использовании сложной учетной ставки d равен [10, с. 57]

 

.

3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения
и дисконтирования по разным видам процентных ставок

Для решения поставленной задачи достаточно сопоставить соответствующие множители наращения (дисконтирования). Считаем размеры ставок одинаковыми.

Имеют место следующие соотношения для множителей наращения:

 

при ,

 

при n = 1,

 

при n > 1.

 

Видно, что соотношение множителей наращения зависит от сроков наращения процентов.

 

Пример. Множители наращения для разных видов ставок (20 %).

 

Срок (в годах)	is	i	ds	d
0,5	1,10	1,0954	1,1111	1,1180
1,0	1,20	1,2000	1,2500	1,2500
2,0	1,40	1,4400	1,6667	1,5625
10,0	11,00	6,1917	∞	9,3132

 

 

Соотношения для дисконтных множителей следующие:

 

при ,

 

при n = 1,

 

при n > 1 [10, с. 57–58].

 

 

Определение срока ссуды и размера процентной ставки

При разработке условий финансовых операций часто возникает необходимость решения обратных задач – расчета продолжительности ссуды или уровня процентной ставки.

 

 

Срок ссуды

При наращении по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j на основе формул (3.1) и (3.7) получим:

 

, (3.18)

 

. (3.19)

 

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f получим:

 

, (3.20)

 

. (3.21)

 

Пример 3.13. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн. руб., достигнет 200 млн. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15 % раз в году и поквартально?

 

По формулам (3.18) и (3.19) получим сроки:

 

года; года [10, с. 59–60].

 

 

Величина процентной ставки

При наращении по сложной годовой ставке процентов i и по номинальной ставке j получим:

 

, (3.22)

 

. (3.23)

 

При дисконтировании по сложным учетным ставкам d и f:

 

, (3.24)

 

, (3.25)

 

 

Пример 3.14. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб., выкупная его сумма 160 тыс. руб., срок 2,5 года. Каков уровень доходности в виде годовой ставки сложных процентов?

 

По формуле (3.22) получим

 

.

 

 

Пример 3.15. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30 %. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

 

По формуле (3.24) получим

 

[10, с. 60].