Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Над матрицами можно производить следующие операции: умножение на число, сложение, умножение матриц и нахождение обратной матрицы. Первые две операции называются линейными.

Определение. Произведением матрицы A размера m´n на число l, называется матрица B=lA размера m´n, каждый элемент b_ij которой равен la_ij.

Пример 1.

Определение. Суммой матриц A и B одинакового размера называется матрица C=A+B того же размера, каждый элемент c_ij которой равен a_ij+b_ij.

Пример 2.

Матрицы разного размера складывать нельзя.

Эти операции обладают свойствами:

а) коммутативности (A+B=B+A),

б) ассоциативности ((A+B)+C=A+(B+C)),

в) дистрибутивности (l(A+B)=lA+lB).

Операцию умножения матриц определим в два этапа.

Определение. Произведением строки A из n элементов на столбец B из n элементов называется число AB, равное сумме произведений соответствующих элементов строки и столбца, т.е.

 

Строку и столбец разной длины перемножать нельзя.

Пример 3.

Определение. Произведением матрицы A размера m´n на матрицу B размера n´k называется матрица C размера m´k, каждый элемент c_ij которой равен произведению i –ой строки матрицы A на i –ый столбец матрицы B, т.е.

 

Пример 4. Пусть , . Найдём матрицы AB и BA.

Мы видим, что AB¹BA, т.е. умножение матриц свойством коммутативности не обладает.

Единичная матрица E играет роль единицы при умножении на квадратную матрицу, т.е. для любой квадратной матрицы A верно равенство

 

AE=EA=A.

 

Произведение матриц соответствующих размеров обладает свойствами:

а) ассоциативности A (BC)=(AB) C;

б) дистрибутивности A (B+C)=AB+AC и (B+C) A=BA+CA.

Кроме того, для квадратных матриц |AB|=|A|×|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется такая матрица A^-1, что выполняется равенство A×A^-1=A^-1×A=E.

Определение. Квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной.

Пример 5. Матрица – вырождена, – невырождена.

Из соотношения |A|×|A^-1|=|E| = 1 следует, что у вырожденной матрицы не может быть обратной (0×|A^-1|¹1).

Определение. Присоединённой матрицей для квадратной матрицы A называется матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A, т.е.

Пример 6. Пусть , тогда

A₁₁=(–1) ¹⁺¹×4=4,

A₁₂=(–1) ¹⁺²×3= –3,

A₂₁=(–1) ²⁺¹×2= –2,

A₂₂=(–1) ²⁺²×1=1,

 

 

Теорема об обратной матрице. Невырожденные матрицы и только они имеют обратные матрицы, которые находятся по формуле

 

(Здесь – присоединённая транспонированная матрица).

Пример 7. Найдём обратную матрицу для матрицы .

Поскольку , то обратная матрица существует. В предыдущем примере мы получили, что , поэтому

 

и .

 

Сделаем проверку.

A^-

т.е. AA^-1= A^-1A=E.

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

Если A и B невырожденные матрицы, то

(A^-1)^-1=A, (AB)^-1= B^-1 A^-1, |A^-1|=|A|^-1.

 

Ранг матрицы

 

Рассмотрим одну числовую характеристику любой (необязательно квадратной) матрицы. Ранг матрицы определяет число так называемых базисных строк или столбцов матрицы, через которые с помощью линейных операций можно получить все остальные строки или столбцы матрицы.

Определение. Минором k -го порядка матрицы A называется определитель, составленный из элементов стоящих на пересечении произвольно выбранных k -столбцов и k-строк этой матрицы.

Пример 8. У матрицы имеется один минор 3-го порядка– , 9 миноров 2-го порядка – , ,

, , , , , , ,

9 миноров 1-го порядка –

.

 

Миноров других порядков у этой матрицы нет.

 

Определение. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Он обозначается символом r(A) или rangA. r (A) – целое неотрицательное число, не превосходящее числа строк и столбцов матрицы A. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Для нахождения r (A) формально необходимо рассмотреть все миноры A, начиная с 1-го порядка и проверить их на вырожденность.

 

Метод окаймляющих миноров позволяет сократить эту процедуру. Он состоит в следующем. Выбираем любой невырожденный минор 1-го порядка (ненулевой элемент матрицы A). Обозначим его через M₁. Затем рассматриваем все миноры 2-го порядка, содержащие M₁ (окаймляющие его). Если все они вырождены, то r (A)=1, если нет, то невырожденный минор 2-го порядка обозначаем через M₂ и так далее. Если у матрицы A есть невырожденный минор k-го порядка и все окаймляющие его миноры (если они есть) вырождены, то r (A)=k, иначе выбираем минор M_k+1 и продолжаем этот процесс.

Пример 9. Найдём ранг матрицы .

У матрицы выбираем невырожденный минор 1-го порядка M₁=(a₁₁)=1. Среди окаймляющих его миноров есть один невырожденный . Единственный минор 3-го порядка окаймляющий M₂ – это сама матрица A. Но, поскольку , то A – вырождена и r (A)=2.

Рассмотрим ещё один метод нахождения r (A), который называется методом элементарных преобразований или методом Гаусса.

Элементарными преобразованиями для матрицы A называются следующие её преобразования.

1. Перестановка строк или столбцов местами.

2. Умножение строки или столбца на ненулевой коэффициент.

3. Прибавление к одной строке или столбцу матрицы другой её строки или столбца, умноженной на некоторое число .

4. Зачёркивание нулевой строки или столбца матрицы.

Матрица B, полученная из A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной ей и обозначается в виде A~B.

 

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Теорема. Ранг треугольной матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований матрица A приводится к верхнетреугольному виду с ненулевыми элементами на главной диагонали (если матрица не квадратная, то она приводится к ступенчатому виду). Число этих ненулевых элементов совпадает с рангом матрицы.

Этот метод состоит в следующем.

1. С помощью перестановок строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы a₁₁ стал отличным от нуля (здесь и в дальнейшем элементы всех матриц будем обозначать в виде a_ij).

2. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на . Прибавим к третьей строке матрицы первую, умноженную на и так далее. В результате в первом столбце получим нулевые элементы ниже a₁₁.

3. С помощью перестановок строк и столбцов, начиная со второй строки и второго столбца, добиваемся того, чтобы a₂₂¹0.

4. Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на . Прибавим к четвёртой строке матрицы вторую умноженную на и так далее. В результате во втором столбце получим нулевые элементы ниже a₂₂.

Этот процесс продолжаем до тех пор, пока возможно получение ¹0 из строк и столбцов начиная с номера i.

Окончательно, после зачёркивания нулевых строк матрица приводится к виду , где ¹ 0.

Поскольку её невырожденный минор r – го порядка находится в левом верхнем углу, то r (A) совпадает с числом ненулевых строк получившейся матрицы.

Перестановку строк или столбцов местами будем обозначать символом ↕, где стрелки указывают на переставляемые строки или столбцы, а третье элементарное преобразование символом (k), где стрелка начинается у строки, которую умножаем на k и заканчивается у изменяемой строки.

 

Пример 10. Найдём ранг матрицы .

 

Проведём элементарные преобразования согласно методу Гаусса.

 

~ ~

~ . Следовательно, r (A)=2.

Определение. Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен r (A).

Пример 11. Для следующей матрицы А ее ранг равен 2:

,

так как существует минор 2-го порядка , не равный нулю, а миноров 3-го порядка у матрицы А нет. Единственный базисный минор матрицы А – минор .

Понятие ранга тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) её строк и столбцов. В дальнейшем материал излагается для строк матрицы, для столбцов матрицы изложение аналогично.

В матрице А обозначим её строки следующим образом:

Две строки матрицы называются равными если равны их соответствующие элементы: .

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:

Строка е называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

где - любые числа.

Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

 

где 0=(0 0 …0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Действительно, пусть для определенности в формуле , , тогда

или

где

Таким образом, строка является линейной комбинацией остальных строк.

Если линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. , то строки называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).

Пусть матрица А размера имеет ранг r (). Это означает, что существует отличный от нуля минор r -го порядка. Всякий ненулевой минор r -го порядка называли базисным минором. Пусть для определенности это минор

тогда строки матрицы линейно независимы.

Строки назовем базисными.

Покажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные.

Рассмотрим минор (r+1)-го порядка, который получается при дополнении рассматриваемого минора элементами ещё одной строки i и столбца j:

Этот минор равен нулю, так как ранг матрицы равен r, поэтому любой минор более высокого порядка равен нулю.

Раскладывая его по элементам последнего (добавленного столбца, получаем) , где последнее алгебраическое дополнение совпадает с базисным минором и поэтому отлично от нуля, т.е. .

Разделив последнее равенство на , можем выразить элемент как линейную комбинацию:

где .

Фиксируем значение i (i>r) и получаем, что для любого j (j=1,2, …, n) элементы i- ой строки линейно выражаются через элементы строк , т.е. i- я строка есть линейная комбинация базисных: .

Пример 12. В примере 10 для матрицы

 

минор второго порядка

невырожден, т.е. он является базисным. Поэтому у матрицы A базисными являются 1-ая и 2-ая строки и 1-ый и 2-ой столбцы. Третью строку матрицы можно записать в виде линейной комбинации базисных строк с коэффициентами 1 и 1: (3 5 7)=1(0 1 2)+1(3 4 5).

Третий столбец записывается в виде линейной комбинации первых

 

двух с коэффициентами (–1) и 2: .