Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Уравнение гипергеометрического типа. ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
a) Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте). Рассмотрим уравнение: (1) - уравнение гипергеометрического вида, где - полиномы порядка , а - полиномы порядка . Домножим (1) на , подобрав её так, чтобы уравнение (1) приняло самосопряжённый вид: . Для этого нужно, чтобы - дифференциальное уравнение для , тогда получим: (1*) - самосопряжённый вид уравнения (1). Определим : - весовые функции. Это свойство одномерной задачи. Т.к. вид оператора отличается от . Самосопряжённая форма (*) большое ограничение. b) Решение в виде полиномов. Формула Родрига. Пусть - решение уравнения . Продифференцируем: . Обозначим , тогда . Производная решения гипергеометрического вида тоже является решением другого уравнения гипергеометрического вида. Далее можно повторить это действие, введя аналогичную замену: и т.д. Следовательно - решение различных уравнений гипергеометрического вида. Определим коэффициенты и . Посмотрим, как они изменятся дальше. , . Запишем: , дифференцируем: . . Найдем . Рассмотрим - сложим все эти разности и получим: Таким образом: . Приведём (2) к самосопряжённому виду. (2) – уравнение для производных. (2*) , где - весовые функции. Каждому целому можно указать такие значения , что . Т.е. , при таком выборе , уравнение приобретает новые качества: и новый вид . Тогда , положим эту константу равной нулю, тогда - многочлен степени . Таким образом, мы нашли бесконечную цепочку полиномов – решений уравнения при соответствующих значения . Это система - нормальная система полиномов образует базис. Вспомним , перепишем в виде: . Рассмотрим . Для воспользуемся при пока (т.е. пока можно делить) . Запишем в чистом виде: - формула Родрига. c) Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей. Эти полиномы ортогональны с весом на отрезке : . Где точки и это: 1) если - полином второго порядка, то и - это нули полинома , т.е. ; либо 2) если - полином первого порядка, то : и ; либо 3) если - полином нулевого порядка, т.е. , то и . Решения либо ограничены в особых точках, либо растут не быстрее полинома на бесконечности. Ортогональность следует из самосопряженности оператора , т.к. [ ]. Докажем. Запишем вторую формулу Грина: . Теорема: Если - нормальная система полиномов на , то все нули принадлежат и они действительные и простые (значит, на происходит смен знаков (корни не кратные), ортогональность означает осцилляцию со сменой знака полное число раз).
Доказательство. Пусть теорема не верна. Пусть имеет перемен знака: . Следовательно, если теорема не верна, то . Рассмотрим , т.к. система нормальная, то образует базис. Тогда - полином степени - это нормальная система. Рассмотрим (нормировка)
Таким образом, получили противоречие, значит . Чтд. Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов a) Полиномы Лежандра. 1) Определим многочлены Лежандра так: разложим в ряд по степеням функцию: . Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра. - называется производящей функцией полиномов Лежандра. 2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на отрезке существуют не тривиальные решения уравнения Лежандра , ограниченные при . Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению . Упрощённое уравнение Лежандра: 3) Рекуррентные соотношения: 4) Ортогональность и норма полиномов Лежандра: , полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой; второе линейно независимое решение уравнения Лежандра при обращается в бесконечность при как . 5) Все нули полиномов Лежандра простые и расположены на интервале . 6) Ограниченность: полиномы Лежандра равномерно ограниченны для всех значений аргумента . b) Полиномы Чебышева-Лягера. 1) Определим полиномы Чебышева-Лягера так: разложим в ряд по степеням функцию: . Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Чебышева-Лягера. - называется производящей функцией полиномов Чебышева-Лягера. 2) Краевая задача: найти такие значения , для которых в области существуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Лягера , ограниченные при и возрастающие при не быстрее чем конечная степень Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению . Упрощённое уравнение Чебышева-Лягера:
3) Рекуррентные соотношения: 4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лягера: :, полиномы Чебышева-Лягера разных порядков ортогональны между собой с весом .
c) Чебышева-Эрмита. 1) Определим полиномы Чебышева-Эрмита так: разложим в ряд по степеням функцию: . Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра. - называется производящей функцией полиномов Чебышева-Эрмита. 2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на существуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Эрмита , возрастающее при не быстрее чем конечная степень Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению . Упрощённое уравнение Чебышева-Эрмита: 3) Рекуррентные соотношения: ; 4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Эрмита: , полиномы Чебышева-Эрмита разных порядков ортогональны на с весом между собой.
d) Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 453; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.103.8 (0.026 с.) |