Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Уравнение Лапласа и Пуассона.Стр 1 из 5Следующая ⇒
Оглавление
Оглавление. 1 1. Уравнение Лапласа и Пуассона. 2 a)Физический смысл стационарной задачи. 2 b)Примеры.. 2 c)Понятие о потенциалах. 2 d)Постановка задач. 2 2. Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия. 3 3. Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства. 4 4. Теорема о среднем для гармонических функций.. 6 5. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле. 7 6. Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений. 8 7. Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения. 9 a)решение задач с её помощью.. 9 b)построение в одномерном случае на отрезке. 9 8. Теория потенциалов, определение, основные свойства. 11 a)Объёмный потенциал. 12 b)Потенциал простого слоя. 14 c)Потенциал двойного слоя. 15 d)Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов. 16 e)Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах: 17 9. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры. 18 10.Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи. 19 11.Уравнение Бесселя. 20 a) особенность, построение ограниченного решения . 21 b) общее решение, , , , понятие о функциях . 22 c)асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя. 23 d)краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д. 24 e) модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции . 25 f)Сводная таблица. 26 12.Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора . 27 13.Уравнение гипергеометрического типа. 28 a)Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных. 28 b)Решение в виде полиномов. Формула Родрига. 29 c)Ортогональные решения полиномов.Свойства нулей. 30 14.Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов. 31 a)Лежандра. 31 b)Чебышева-Лягера. 32 c)Чебышева-Эрмита. 33 d)Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида. 34 15.Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства. 36
16.Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных. 37 17.Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д. 38 Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
(p) - гармоническая функция – если она удовлетворяет уравнению Лапласа: , и непрерывна в . Примеры 1: Линейная функция вида - гармоническая функция, т.к. удовлетворяет условиям. 2: Цилиндрические функции. Рассмотрим цилиндрическую систему координат (r,φ,z): и , тогда , если , то останется первое слагаемое: =0, решаем . Т.о. функция вида - гармоническая функция в т. . 3: Сферические функции. Рассмотрим сферические координаты: и , тогда , если , то останется первое слагаемое: , решаем т.о. функция вида - гармоническая функция в т. . Получим формулу интегрального представления. Пусть , тогда (согласно второй формуле Грина) получаем: . Эта формула верна в случае любых двух непрерывно дифференцируемых функций в области D, а выбираем следующим образом: , (причём заметим, что - гармоническая функция), имеет особенность в области D в точке P = Q. Вырежем её из области D: окружим её окружностью с центром в точке Р и радиусом - . Т.о. формула справедлива в области и появится ещё одно слагаемое: - интеграл по сфере , тогда: . Рассмотрим последний интеграл: Применим к первому слагаемому теорему о среднем: , - точка на сфере . Перейдём к переделу : - первое слагаемое исчезло. Рассмотрим второе слагаемое: применим теорему о среднем , - точка на сфере , Перейдём к переделу : . Второе слагаемое: . Тогда второй интеграл перепишется в виде: , а интеграл , так как . (Примечание: когда мы окружали окрестностью точку р, это должно было отразится и на объёмном интеграле, но при этот интеграл становится несобственный, но сходящийся. Тогда ). Таким образом, получили, что: , выражаем . Мы получили формулу для 3D случая (к(р) положим = 1): . В двумерном случае получаем аналогично: , - расстояние между точками p и Q. Чтд. Уравнение Бесселя. Рассмотрим уравнение вида: - уравнение Бесселя. Это уравнение для цилиндрических функций – его решения – цилиндрические функции. Рассмотрим лапласиан в цилиндрических координатах, и : - возникает в связи с решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах.
Решением этого уравнения (1-ым базисным решнием) является функция Бесселя первого рада: . Рассмотрим некоторые её свойства. 1) Рекуррентные соотношения. 2) Функции Бесселя с полуцелыми номерами . Вычислим . Для этого выполним преобразования: , подставим , но , тогда . Таким образом, мы получили следующие значения: , используя рекуррентные соотношения можно получить остальные значения полуцелых индексов. 3) Нули функции Бесселя.
a) особенность, построение ограниченного решения . Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение. Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:
Пусть . Таким образом: . Вычислим коэффициент , и выразим его через . , коэффициент выбираем произвольно: , где . Таким образом, получили коэффициенты ряда: , т.к. . Запишем формальный ряд: , если , тогда решение ограничено. Оно решение, т.к. ряд сходится для любых по признаку Даламбера: , сходится при всех , радиус сходимости равен бесконечности. Таким образом, мы получили единственное, с точность до множителя решение: - функция Бесселя первого рода – это первое базисное решение. Случай рассмотрен в следующем пункте. b) общее решение, , , , понятие о функциях . Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение. Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:
Пусть : тогда уравнение решение Бесселя будет: , где - любое нецелое число. Это неограниченное решение значит, оно может выступать в роли второго базисного, но только в случае не целого значения . Пусть - целое число, тогда при . сменим индекс: , получили соотношение: , то есть решения стали линейно зависимыми.. В качестве второго линейно независимого решения уравнения Бесселя можно взять функцию, построенную следующим образом: - это функция Неймана. Её асимптотика . Оно тоже может играть роль базисного уравнения. Могут быть и другие линейно-независимые комбинации (базисные решения): - функции Ханкеля, их асимптотика . Т.о. общее решение уравнения Бесселя имеет вид (линейная комбинация 2-х базисных решений): c) асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя. Функции Бесселя (любые решения уравнения Бесселя) имеют особенность в нуле. Решение уравнения Бесселя при имеет следующий вид: . Докажем это. Для этого сделаем замену: , подставим , первые производные ушли, осталось: . Таким образом: , будем искать в виде: . Надо найти две функции: и . положим , получим . Тогда , подставим в уравнение: , т.о. получили систему: . Получили систему, разрешённую относительно производных, но не нелинейную. Оценим. Проинтегрируем и запишем для первого и второго уравнений:
. При больших значениях , и имеют вид констант. Получим вид : и : . Тогда - общая формула для любой цилиндрической функции. Асимптотики функций Бесселя и Неймана:
d) краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д. Рассмотрим краевую задачу на собственные значения. на отрезке , или: , отличается от уравнения Бесселя наличием параметра . Первое решение: - тождественный ноль, а задача Штурма-Лиувилля – это задача на собственные функции и собственные значения - заключается в нахождении таких значений , при которых существует нетривиальное решение. Сделаем замену: , () , его общее решение , константы находим из начального условия. Из ограниченности находим, что , из второго условия находим что: - это уравнение для определения . У бесконечно много нулей: и , тогда можно написать, что . Тогда собственные значения - их бесконечно много, и соответственно собственные функции . Все собственные значения действительны и положительны. Это следует из самосопряженности оператора . Убедимся в его самосопряженности. Напишем формулу Грина , - т.е. оператор самосопряжённый. Это значит, что все собственные значения действительны и положительны, т.к. и . Все собственные функции, отвечающие разным собственным значениям ортогональны с весом : Теорема Фурье-Бесселя (о полноте) Любая функция , которая на отрезке допускает дифференцирование и удовлетворяет граничным условиям: , разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по функциям Бесселя: . Коэффициенты находятся интегрированием, т.к. это разложение по ортогональному базису. . В задаче на собственные функции и собственные значения всё будет аналогично, если вместо краевого условие первого рода мы возьмём , тогда - будут корнями уравнения: . e) модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции . Рассмотрим уравнение: , оно отличается знаком перед . Сделаем замену , тогда подставим и получим уравнение: , получили уравнение Бесселя. Его ограниченное решение: - модифицированная функция Бесселя. В качестве С возьмем , тогда . Он отличается знакопостоянством. Рассмотрим его асимптотику: . Модифицированная функция заведомо не имеет нулей (только на мнимой оси), т.к. все слагаемые положительные. Напишем базис. Первая базисная функция - , вторая базисная функция - - функция Макдональда. - действительна для действительных . Её асимптотика , тогда общее решение можно записать так: . Из линейной независимости и следует, что в точке имеет полюс -го порядка.
f) Сводная таблица.
12. Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора . Рассмотрим уравнение: (*) и пусть - имеет два ноля.
Полученные функции, отвечающие различным собственным значениям, будут ортогональны, то есть оператор должен быть самосопряжённым. Самосопряженность оператора Используя 2-ую формулу Грина получаем: Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов a) Полиномы Лежандра. 1) Определим многочлены Лежандра так: разложим в ряд по степеням функцию: . Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра. - называется производящей функцией полиномов Лежандра. 2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на отрезке существуют не тривиальные решения уравнения Лежандра , ограниченные при . Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению . Упрощённое уравнение Лежандра: 3) Рекуррентные соотношения: 4) Ортогональность и норма полиномов Лежандра: , полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой; второе линейно независимое решение уравнения Лежандра при обращается в бесконечность при как . 5) Все нули полиномов Лежандра простые и расположены на интервале . 6) Ограниченность: полиномы Лежандра равномерно ограниченны для всех значений аргумента . b) Полиномы Чебышева-Лягера. 1) Определим полиномы Чебышева-Лягера так: разложим в ряд по степеням функцию: .
Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Чебышева-Лягера. - называется производящей функцией полиномов Чебышева-Лягера. 2) Краевая задача: найти такие значения , для которых в области существуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Лягера , ограниченные при и возрастающие при не быстрее чем конечная степень Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению . Упрощённое уравнение Чебышева-Лягера: 3) Рекуррентные соотношения: 4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лягера: :, полиномы Чебышева-Лягера разных порядков ортогональны между собой с весом .
c) Чебышева-Эрмита. 1) Определим полиномы Чебышева-Эрмита так: разложим в ряд по степеням функцию: . Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра. - называется производящей функцией полиномов Чебышева-Эрмита. 2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на существуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Эрмита , возрастающее при не быстрее чем конечная степень Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению . Упрощённое уравнение Чебышева-Эрмита: 3) Рекуррентные соотношения: ; 4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Эрмита: , полиномы Чебышева-Эрмита разных порядков ортогональны на с весом между собой.
d) Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
Оглавление
Оглавление. 1 1. Уравнение Лапласа и Пуассона. 2 a)Физический смысл стационарной задачи. 2 b)Примеры.. 2 c)Понятие о потенциалах. 2 d)Постановка задач. 2 2. Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия. 3 3. Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства. 4 4. Теорема о среднем для гармонических функций.. 6 5. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле. 7 6. Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений. 8 7. Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения. 9 a)решение задач с её помощью.. 9 b)построение в одномерном случае на отрезке. 9 8. Теория потенциалов, определение, основные свойства. 11 a)Объёмный потенциал. 12 b)Потенциал простого слоя. 14 c)Потенциал двойного слоя. 15 d)Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов. 16 e)Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах: 17 9. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры. 18 10.Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи. 19 11.Уравнение Бесселя. 20
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 531; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.15.70.191 (0.124 с.) |