Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.

(1) Точка р принадлежит области D, ограниченной контуром Г.

Воспользуемся формулой: , мы не знаем, как находится и, соответственно, не можем найти точное решение - избавимся от слагаемого, которое её содержит. Воспользуемся второй формулой Грина для функций и . Из второй формулы Грина следует .

В качестве w выберем любую гармоническую функцию в D, такую что: , то есть мы выбираем её так, чтобы на границе она совпадала с .

Вычитая два этих выражения, получаем: . Пусть , тогда: , - функция Грина задачи Дирихле.

Функция Грина является решением задачи (1), удовлетворяет уравнению: . Проинтегрируем по шару:

применим теорему Гаусса , т.о. можно определить аксиоматически:

Функция Грина задачи , это решение следующей задачи: .

Её физический смысл. Рассмотрим заряд величины в точке р, его потенциал в точке Q: , функция подправляет его так, чтобы на границе он равнялся нулю. Если представить, что этот заряд находиться внутри шара, сделанного из металлической сетки, то можно сказать, что моделирует заземление.

Функция Грина в двухмерном случае: . Мы получили решение задачи (1) через функцию Грина, но саму функцию Грина не нашли, для этого надо решить задачу для , найти . Пусть точка принадлежит области , ограниченной . Ищем виде потенциала: подбираем точки , сажаем в них заряды , так чтобы суммарный потенциал на границе был = 0 – метод электростатических изображений. .

7. Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.

- гармоническая везде, кроме точки , в ней она имеет особенность. Рассмотрим более обобщённый случай. - краевая задача – общий вид – с эллиптическим уравнением.

Функцией Грина будем называть решение следующей задачи: (4’) .

a) решение задач с её помощью

Пусть - решение задачи (1’), а , воспользуемся второй формулой Грина, её можно применять для : . Перепишем эту формулу для нашего случая: .

Рассмотрим последний интеграл отдельно для всех трёх типов краевых задач:

т.о. можно написать, что: - решение (1’) с учётом краевых условий.

b) Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке

в одномерном случае (: ) задача (4’) будет иметь вид:

, её решение – функция Грина:

 

Рассмотрим интервал

Выбираем решение уравнения , удовлетворяющее граничному условию при . Этих решений много. Общее решение: , где , - есть функция . Это решение существует везде на отрезке , оно может быть использовано для построения функции Грина.

Рассмотрим интервал .

Пусть тогда - решение уравнения , удовлетворяющее граничному условию при , Этих решений много. Общее решение: , где , - есть функция .

Склеим эти два куска так, чтобы в точке выполнялось (*). Там есть две производных, и при любом разрыве будет бесконечность. Возьмем окрестность точки размера δ и проинтегрируем левую часть (*): . Интегрируем: , пусть , тогда

, т.о. т.о. получили уравнение, связывающее две неопределённые константы. Второе уравнение можно получить, приравняв два решения в точке разрыва: . Имеем систему однородных линейных уравнений для нахождения и : , решаем: , где определитель Вронского: , мы можем построить не бесконечную и непрерывную функцию Грина.

Из теории ОДУ знаем, что , докажем: , чтд.

Сделаем эту постоянную выбором и . , и тогда функция Грина:

. Излом первой производной соответствует -функции. - линейные функции.

с) Функция Грина симметрична по своим аргументам G(P,Q) = G(Q,P)