Моделирование химических процессов и аппаратов

 

На основе математических моделей химических процессов и аппаратов решаются следующие задачи:

n выбор конструкции и размера аппарата;

n определение оптимальных режимов его работы;

n разработка систем автоматического управления.

 

Любой химико-технологический процесс, как правило, сопровождается перемещением некоторых материальных потоков жидкости, газа или твердых частиц. Структура потоков оказывает существенное влияние на эффективность химико-технологических процессов. При этом математическая модель структуры потока является основой для построения математической модели процесса в целом.

Типовые математические модели структуры потоков в аппаратах

1. Модель аппарата идеального смешения

 

Модель АИС соответствует аппарату, в котором поступающее в него вещество мгновенно равномерно распределяется по всему его объему. При этом концентрации и температура на выходе из реактора те же, что в объеме, а на входе претерпевают скачок. Время пребывания в АИС распределено не равномерно.

Уравнение, описывающее изменение концентрации в зоне идеального смешения имеет вид:

,

где V – объем реактора, м³; Q – объемный расход, м³/с; С – концентрация, моль/м³; τ – время, c.

Аналогично, заменяя концентрацию температурой, получаем уравнение теплового баланса:

,

,

где С_р – изобарная теплоемкость, Дж/м³∙К;

– усредненная теплоемкость аппарата;

Х – объемная доля; r – плотность, кг/м³; T – температура, К.

Индексы: R – внутренние конструкции реактора; P – реакционная смесь; K – катализатор.

Поскольку в аппаратах химической технологии концентрация вещества может изменяться не только в результате его движения, но и вследствие химических реакций, уравнение материального баланса АИС будет иметь вид:

,

где w – скорость химического превращения вещества, моль/м³∙с.

Уравнение теплового баланса запишется как:

,

где q_r – удельный тепловой эффект реакции, Дж/моль;

К_Т – коэффициент теплопередачи, Вт/(м²×К);

F – поверхность теплообмена, м².

В правой части уравнения теплового баланса записаны:

– ввод тепла с входящим потоком;

– вывод тепла с уходящим потоком;

– выделение тепла за счет реакции;

– отвод тепла через поверхность теплообмена.

В левой части уравнения – накопление тепла.

В уравнениях материального и теплового балансов скорость химического превращения в общем виде определяется как функция состава и температуры реакционной смеси:

,

где - вектор концентраций; k - константа скорости.

Начальные условия (НУ).

НУ определяют поля температур и концентраций в начальный момент времени:

τ₀=0, C₀=C(0), T₀=T(0).

Ограничения.

Ограничения определяют диапазон, в которых работает реактор.

Рабочий диапазон температур:

Рабочий диапазон входных концентраций:

Рабочий диапазон объемного расхода:

Для стационарного режима изменения количества вещества и тепла во времени равны нулю, т.е.

и

Полагая, что для АИС в стационарных условиях Q_ВХ = Q_ВЫХ = Q, уравнение материального баланса запишется:

,

уравнение теплового баланса:

.

Обычно материальный баланс представляет собой систему уравнений, количество которых равно количеству ключевых компонентов:

Кроме того, если ключевое вещество участвует в нескольких реакциях, то скорость его превращения будет равна сумме скоростей реакций, в которых участвует данное вещество.

Уравнение теплового баланса в этом случае имеет вид:

Уравнение кинетики в общем виде записывается как:

, k =1, 2,… p

2. Модель аппарата идеального вытеснения.

 

 

Условия физической реализуемости этой модели выполняются в случае поршневого потока, когда предполагается, что в направлении его движения смешивание полностью отсутствует, а в направлении, перпендикулярном движению, происходит идеальное смешение. Время пребывания всех частиц в системе одинаково и равно отношению объема системы к объемному расходу жидкости, τ=V/Q.

Уравнение, описывающее изменение концентрации в зоне идеального вытеснения, имеет вид:

,

где S – площадь поперечного сечения, м²; Z – координата длины, м; U – скорость потока, м/с.

Здесь левая часть – изменение количества вещества в выделенном элементарном слое. Первое слагаемое правой части – количество вещества, вносимого с потоком в выделенный объем, второе слагаемое – количество вещества, уносимого с потоком.

Раскрыв скобки и сократив на dz, получим:

,

где Q=U×S – объемный расход, м³/с.

Уравнение теплового баланса:

или после упрощения:

Для АИВ, в котором протекает химическая реакция и имеется теплообменник, уравнения материального и теплового балансов имеют вид:

,

,

где F_УД = F/V – удельная поверхность теплообмена, м²/м³.

Уравнение кинетики в общем виде записывается:

,

где - вектор концентраций; {С₁, С₂,…С_n}, k - константа скорости.

В математическую модель АИВ входят также граничные и начальные условия и ограничения.

Граничные условия для АИВ - условия протекания процесса на входе в слой:

z=0, C(0,τ)=C_ВХ, T(0,τ)=T_ВХ

Начальные условия устанавливают значения концентраций и температуры в реакторе в начальный момент времени:

τ = 0, C(z,0) = C(0), T(z,0) = T(0)

Ограничения:

,

В случае стационарного режима:

- уравнение материального баланса:

- уравнение теплового баланса:

Поскольку τ = V/Q = S·L/Q откуда L =τ· Q/S и dz = (Q/S) · d τ, делая подстановку, получаем:

(*)

(**)

Поскольку переменная τ имеет размерность времени и обозначает время пребывания элементарного объема реагирующей смеси в зоне реакции, то уравнения (*) и (**) можно рассматривать так же как математическое описание АИС периодического действия.

 

ПОЛОЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ КИНЕТИКИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ