Дискретне перетворення Фур’є

 

Реальні сигнали є комбінацією багатьох частот, які відображають частотний спектр сигналу. Сигнали представляється у вигляді суми гармонічних функцій або комплексних експонент з частотами, які утворюють арифметичну прогресію. Ряд Фур'є в синусно-косинусні формі має такий вигляд.

 

 

де - кругова частота, яка відповідає періоду повторення сигналу. Частоти , які входять у формулу, називаються гармоніками. Вони нумеруються в відповідності з індексом , а частота називається гармонікою сигналу. Коли є парною функцією, то всі рівні нулю і в формулі ряду Фур'є присутні тільки косинусні доданки. У випадку коли є непарною функцією, то всі рівні нулю і в формулі ряду Фур'є присутні тільки синусні доданки. Дійсна форма запису ряду Фур'є має такий вигляд

 

 

Комплексна форма запису ряду Фур'є записується так

 

де , - комплексні коефіцієнти ряду.

Які зв’язані з амплітудами і фазами таким чином

,

 

Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур'є називають амплітудним спектром, сукупність їх фаз – фазовий спектр.

Рис. Гармоніки для синтезу сигналу

 

Для отримання дійсної і уявної частин комплексної огибаючої сигналу потрібно вхідний сигнал помножити на і , де - несуча частота, та пропустити через фільтри нижніх частот. Для отримання дійсної та уявної частин огибаючої сигналу використовується квадратурна дискретизація, структура якої наведена на рис 3.1, де ФНЧ - фільтр низьких частот, АЦП – аналого-цифровий перетворювач.

 

Рис. 3.1 Квадратурна дискретизація

 

Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) в загальному випадку комплексної послідовності х(n), n=0,1.....,N-1 визначається виразом

 

(3.1)

де k=0,1,…,N-1, - повертаючий множник.

Послідовність х(n), як правило, визначає N послідовних відліків x(nT) неперервного сигналу x(t), а послідовність X(k) представляє його в частотній області Х(kf). ДПФ є лінійним перетворенням, перетворюючий вектор часових відліків в вектор такої самої довжини, що містить спектральні відліки. Таке перетворення реалізується як множення квадратної матриці (повертаючи множників) перетворення на вхідний вектор-стовпець

 

 

Обчислення ДПФ шляхом множення матриці на вектор повністю відповідає формулі (3.1).

Результат ДПФ є спектр дискретного періодичного сигналу, який легко можна використати для відновлення неперервного періодичного сигналу. Для даного перетворення використовується обepнeнe ДПФ, яке має вигляд

 

 

Безпосереднє обчислення ДПФ за формулою (3.1) потребує N² множень і N(N-1) додавань комплексних чисел.

 

Швидкі алгоритми ортогональних тригонометричних перетворень